将凸 $n$ 边形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形．对 $k=1,2,\cdots,n$，记 $b_k$ 是由顶点 $A_k$ 引出的蓝色边的条数，求证：$$b_1+b_2+\cdots+b_n \leqslant \dfrac {n^2}{2}.$$
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江苏省复赛（加试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $b=\max\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$．
由点 $A$ 向 $A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_b$ 引出 $b$ 条蓝色边，则 $A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_b$ 之间无蓝色边，$A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_b$ 以外的 $n-b$ 个点，每点至多引出 $b$ 条蓝色边，因此$$\text{蓝色边的总数}\leqslant (n-b)b \leqslant \left(\dfrac {(n-b)+b}{2}\right)^2=\dfrac {n^2}{4},$$故$$b_1+b_2+\cdots+b_n \leqslant 2\times \dfrac {n^2}{4}= \dfrac {n^2}{2},$$命题得证．
由点 $A$ 向 $A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_b$ 引出 $b$ 条蓝色边，则 $A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_b$ 之间无蓝色边，$A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_b$ 以外的 $n-b$ 个点，每点至多引出 $b$ 条蓝色边，因此$$\text{蓝色边的总数}\leqslant (n-b)b \leqslant \left(\dfrac {(n-b)+b}{2}\right)^2=\dfrac {n^2}{4},$$故$$b_1+b_2+\cdots+b_n \leqslant 2\times \dfrac {n^2}{4}= \dfrac {n^2}{2},$$命题得证．
答案
解析
备注
