将 $3k$（$k$ 为正整数）个石子分成五堆．如果通过每次从其中 $3$ 堆中各取走一个石子，而最后取完．则称这样的分法是“和谐的”．试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛浙江省预赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
分法是和谐的充分必要条件是最多一堆石子的个数不超过 $k$．
下面设五堆石子的个数分别为 $a,b,c,d,e$（其中 $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant e$）．
必要性的证明：若分法是和谐的，则把 $a$ 所对应的石子取完至少要取 $a$ 次，这 $a$ 次每次都要取走 $3$ 个石子，如果 $a>k$，则 $3a>3k$，即把 $a$ 所对应的一堆取完时，需取走的石子多于五堆石子的总数，矛盾．因此最多一堆石子的个数不能超过 $k$．
充分性的证明：（数学归纳法）
① 当 $k=1$ 时，满足 $a\leqslant k$ 的分法只能是 $1,1,1,0,0$，显然这样的分法是和谐的．
② 假设 $k\leqslant n$ 时，满足 $a\leqslant k$ 的分法是和谐的．
当 $k=n+1$ 时，若 $a\leqslant n+1$，且分法 $a,b,c,d,e$ 是不和谐的，则分法 $a-1,b-1,c-1,d,e$ 也是不和谐的．由 ② 及必要性的证明，可知$$\max\{a-1,b-1,c-1,d,e\}>n,$$因为 $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant e$，所以$$\max\{a-1,b-1,c-1,d,e\}=\max\{a-1,d\}>n,$$若 $a-1\geqslant d$，则有 $a-1>n$，这与 $a\leqslant n+1$ 矛盾．
若 $a-1<d$，则有$$n<d\leqslant c\leqslant b\leqslant a\leqslant b+1.$$从而有$$a=b=c=d=n+1,$$于是有$$3(n+1)=a+b+c+d+e=4(n+1)+e,$$这是不可能的．
因此，当 $a\leqslant n+1$ 时，分法 $a,b,c,d,e$ 是和谐的．
下面设五堆石子的个数分别为 $a,b,c,d,e$（其中 $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant e$）．
必要性的证明：若分法是和谐的，则把 $a$ 所对应的石子取完至少要取 $a$ 次，这 $a$ 次每次都要取走 $3$ 个石子，如果 $a>k$，则 $3a>3k$，即把 $a$ 所对应的一堆取完时，需取走的石子多于五堆石子的总数，矛盾．因此最多一堆石子的个数不能超过 $k$．
充分性的证明：（数学归纳法）
① 当 $k=1$ 时，满足 $a\leqslant k$ 的分法只能是 $1,1,1,0,0$，显然这样的分法是和谐的．
② 假设 $k\leqslant n$ 时，满足 $a\leqslant k$ 的分法是和谐的．
当 $k=n+1$ 时，若 $a\leqslant n+1$，且分法 $a,b,c,d,e$ 是不和谐的，则分法 $a-1,b-1,c-1,d,e$ 也是不和谐的．由 ② 及必要性的证明，可知$$\max\{a-1,b-1,c-1,d,e\}>n,$$因为 $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant e$，所以$$\max\{a-1,b-1,c-1,d,e\}=\max\{a-1,d\}>n,$$若 $a-1\geqslant d$，则有 $a-1>n$，这与 $a\leqslant n+1$ 矛盾．
若 $a-1<d$，则有$$n<d\leqslant c\leqslant b\leqslant a\leqslant b+1.$$从而有$$a=b=c=d=n+1,$$于是有$$3(n+1)=a+b+c+d+e=4(n+1)+e,$$这是不可能的．
因此，当 $a\leqslant n+1$ 时，分法 $a,b,c,d,e$ 是和谐的．
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备注
