证明：对每个正整数 $n$，存在正整数 $p(n)$，使得能将前 $p(n)$ 个正整数所排成的数列 $1,2,\cdots,p(n)$ 顺次分成为这样的 $n$ 段，其中每一段中的个数之和都是平方数．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意 $1$ 是平方数，可取 $P(1)=1$．
由$$2+3+4=9=3^2,$$所以第二段可取 $3$ 个数，即可以取 $P(2)=1+3=4$．
由$$5+6+\cdots+13=81=3^4,$$因此第三段可取 $9$ 个数，即可以取 $P(3)=1+3+3^2=13$．
$\cdots$
据此猜想，一般地，第 $n$ 段可取 $3^{n-1}$ 个数，$$P(n)=1+3+3^2+\cdots+3^{n-1},n=1,2,\cdots.$$今证明这一结论．
因为$$\begin{split}&P(n)=1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}=\dfrac{3^n-1}{2},\\&P(n+1)=\dfrac{3^{n+1}-1}{2},\end{split}$$所以\[\begin{split}&S_{p(n)}=1+2+\cdots+P(n)=\dfrac{P(n)(P(n)+1)}{2},\\&S_{p(n+1)}=\dfrac{P(n+1)(P(n+1)+1)}{2},\end{split}\]由此得，$$S_{p(n+1)}-S_{p(n)}=\dfrac{(P(n+1)-P(n))(P(n+1)-P(n)+1)}{2}=3^{2n}$$为平方数．
因此，对每个正整数 $n=1,2,\cdots$，存在 $\displaystyle p(n)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{3^k}$ 满足本题的条件．
由$$2+3+4=9=3^2,$$所以第二段可取 $3$ 个数，即可以取 $P(2)=1+3=4$．
由$$5+6+\cdots+13=81=3^4,$$因此第三段可取 $9$ 个数，即可以取 $P(3)=1+3+3^2=13$．
$\cdots$
据此猜想，一般地，第 $n$ 段可取 $3^{n-1}$ 个数，$$P(n)=1+3+3^2+\cdots+3^{n-1},n=1,2,\cdots.$$今证明这一结论．
因为$$\begin{split}&P(n)=1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}=\dfrac{3^n-1}{2},\\&P(n+1)=\dfrac{3^{n+1}-1}{2},\end{split}$$所以\[\begin{split}&S_{p(n)}=1+2+\cdots+P(n)=\dfrac{P(n)(P(n)+1)}{2},\\&S_{p(n+1)}=\dfrac{P(n+1)(P(n+1)+1)}{2},\end{split}\]由此得，$$S_{p(n+1)}-S_{p(n)}=\dfrac{(P(n+1)-P(n))(P(n+1)-P(n)+1)}{2}=3^{2n}$$为平方数．
因此，对每个正整数 $n=1,2,\cdots$，存在 $\displaystyle p(n)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{3^k}$ 满足本题的条件．
答案
解析
备注
