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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15735 590985ec39f91d000a7e4550 高中 解答题 自招竞赛 Alex，Betty和Charlie共有 $444$ 颗花生，Alex的花生最少，Charlie的花生最多．三个人的花生数构成一个等比数列．Alex吃掉 $5$ 颗花生，Betty吃掉 $9$ 颗花生，Charlie吃掉 $25$ 颗花生之后，三个人的花生数构成一个等差数列．求刚开始的时候Alex的花生数． 2022-04-17 19:27:16
15681 590c1bedd42ca7000a7e7e75 高中 解答题 自招竞赛 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $14$ 项和 $a_1+a_2+\cdots+a_{14}=77$，已知 $a_1$，$a_{11}$ 为正整数，求 $a_{18}$ 的值． 2022-04-17 19:58:15
15673 590fbc07857b4200092b0701 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f\left( x \right)$ 为一元二次函数，且 $a,f\left( a \right),f\left( {f\left( a \right)} \right),f\left( {f\left( {f\left( a \right)} \right)} \right)$ 为正项等比数列，求证：$f\left( a \right) = a$． 2022-04-17 19:54:15
15596 5912bd0ee020e70007fbee9a 高中 解答题 自招竞赛 如果正数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足：${a_{n - 1}} + {a_{n + 1}} \geqslant 2{a_n}$（$n \geqslant 2$，$n \in \mathbb N$）． 2022-04-17 19:07:15
15595 5912be38e020e70007fbeeaa 高中 解答题 自招竞赛 正整数数列 $\{ {x_n}\} $，$\{ {y_n}\} $ 满足：${x_{n + 2}} = 2{x_{n + 1}} + {x_n}$，${y_{n + 2}} = {y_{n + 1}} + 2{y_n}$（$n \in {{\mathbb{N}}_ + }$）．
证明：存在正整数 ${n_0}$，对任意正整数 $n > {n_0}$，有 ${x_n} > {y_n}$ 恒成立．		 2022-04-17 19:07:15
15519 596463f7e6a2e7000cc63b5b 高中 解答题 自招竞赛 在数列 $\{x_{n}\}$ 中，$x_{n}=p^{n}+q^{n}$，$p,q\in\mathbb R$，$x_{1}=1,x_{3}=4$． 2022-04-17 19:22:14
15495 59685e4222d14000072f84eb 高中 解答题 自招竞赛 在一圆周上有 $k$ 个数，$k\geqslant 3$．若其中任意三个相邻数，依顺时针方向分别设为 $a,b,c$，恒有 $b=\alpha a+\beta c$，这里 $\alpha \geqslant 0$，$\beta \geqslant 0$，$\alpha +\beta =1$．证明这 $k$ 个数必互相相等． 2022-04-17 19:10:14
15475 596c116622d140000ac07fb5 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\alpha$ 为实数且 $\sin\alpha+\cos\alpha$ 为有理数，求证数列 $\{\cos^n\alpha+\sin^n\alpha\mid n\in\mathbb N^*\}$ 各项均为有理数． 2022-04-17 19:00:14
15368 598a6e825a1cff0009ea2352 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是整数 $1,2,\cdots ,n$ 的一个排列，且满足 ① $a_1=1$；② $|a_i-a_{i-1}|\leqslant 2$，$i=2,3,\cdots,n$．上述排列的个数记为 $f(n)$，试求 $f(2010)$ 被 $3$ 除的余数． 2022-04-17 19:01:13
15365 598aa97640b385000cb72ea7 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_1>0;x_{n+1}=\sqrt 5x_n+2\sqrt{x_n^2+1},n \in\mathbb N^*$．证明：在 $x_1,x_2,\cdots, x_{2016}$ 中，至少存在 $672$ 个无理数． 2022-04-17 19:59:12
15335 5992aa601a9d9c0009ac44ac 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_1,x_2,x_3,\cdots $ 是不同的正实数，证明：$x_1,x_2,x_3,\cdots $ 是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数 $n(n\geqslant 2)$，都有$$\dfrac {x_1}{x_2}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac {x_n^2}{x_kx_{k+1}}=\dfrac {x_n^2-x_1^2}{x_2^2-x_1^2}.$$ 2022-04-17 19:43:12
15309 59bb3cf977c760000717e3de 高中 解答题 自招竞赛 求所有正实数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n^2=1+na_{n+1}$，且有无穷多个 $k\in\mathbb N^*$，使得 $a_k<2^k$． 2022-04-17 19:30:12
15267 5c6a44a9210b281dbaa93367 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{x}_{1}}=97$，对于 $n>1$，令 ${{x}_{n}}=\frac{n}{{{x}_{n-1}}}$，求连乘积 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\cdots {{x}_{8}}$． 2022-04-17 19:09:12
15264 5c6a44bf210b281db9f4c741 高中 解答题 自招竞赛 选定整数序数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…，使得 ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}-{{a}_{n-2}}$，其中 $n\geqslant 3$．如果前1492项的和是1985，而前1985项的和是1492，那么前2001项的和是多少？ 2022-04-17 19:07:12
15215 5c75fffb210b28428f14cd45 高中 解答题 自招竞赛 一个整数的十进制表示法为 ${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}$ …… ${{a}_{k}}$，若当 ${{a}_{i}}$ 为奇数时 ${{a}_{i}}<{{a}_{i+1}}$，当 ${{a}_{i}}$ 为偶数时 ${{a}_{i}}>{{a}_{i+1}}$，则称这个整数具有单调性和奇偶性。在所有的四位数中，这样的整数有多少个？ 2022-04-17 19:42:11
15160 5cac17b5210b2866bc014612 高中 解答题 自招竞赛 设正数列 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}},\cdots $．满足 $\left( 8{{x}_{2}}-7{{x}_{1}} \right)x_{1}^{7}\text{=}8$ 及 ${{x}_{k+1}}{{x}_{k-1}}-x_{k}^{2}\text{=}\frac{x_{k-1}^{8}-x_{k}^{8}}{{{\left( {{x}_{k}}{{x}_{k-1}} \right)}^{7}}}\left( k\geqslant 2 \right)$ 。 求正实数 $a$，使得当 ${{x}_{1}}$ > $a$ 时，有单调性 ${{x}_{1}}$ > ${{x}_{2}}$ > $\cdots $ > ${{x}_{n}}$ > $\cdots $；当 $0$ < ${{x}_{1}}$ < $a$ 时，不具有单调性。 2022-04-17 19:09:11
15159 5cac17c1210b2866bb0a6958 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $n$，令 ${{f}_{n}}\text{=}\left[ {{2}^{n}}\sqrt{2008} \right]+\left[ {{2}^{n}}\sqrt{2009} \right]$ 。求证：数列 ${{f}_{1}}\text{,}{{f}_{2}}\text{,}\cdots $ 中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（$\left[ x \right]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数）。 2022-04-17 19:09:11
15128 5cc2c073210b280220ed261e 高中 解答题 自招竞赛 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1,a_2$ 是给定的非零整数，$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_{n}|$． 2022-04-17 19:50:10
15089 5d1dd32a210b28021fc77fb6 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{u_{n}\right\},\left\{v_{n}\right\}$ 满足
$u_{0}=u_{1}=1$
$u_{n}=2 u_{n-1}-3 u_{n-2}(n \geqslant 2)$
$v_{0}=a, v_{1}=b, v_{2}=c$
$v_{n}=v_{n-1}-3 v_{n-2}+27 v_{n-3}(n \geqslant 3)$
假设存在正整数 $N$，使得当 $n\geqslant N$ 时，$v_n$ 均为整数且可被 $u_n$ 整除．证明：$3a=2b+c$．		 2022-04-17 19:31:10
15082 5d3a6fd0210b28021fc78cfe 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{0}=0$，$a_{n+1}=k a_{n}+\sqrt{\left(k^{2}-1\right) a_{n}^{2}+1}, n=0,1,2, \cdots$，其中 $k$ 为给定的正整数，证明：数列 $\{a_n\}$ 的每一项都是整数，且 $2 k | a_{2 n}, n=0,1,2, \cdots$． 2022-04-17 19:27:10
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