设正数列 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}},\cdots $．满足 $\left( 8{{x}_{2}}-7{{x}_{1}} \right)x_{1}^{7}\text{=}8$ 及 ${{x}_{k+1}}{{x}_{k-1}}-x_{k}^{2}\text{=}\frac{x_{k-1}^{8}-x_{k}^{8}}{{{\left( {{x}_{k}}{{x}_{k-1}} \right)}^{7}}}\left( k\geqslant 2 \right)$ 。 求正实数 $a$，使得当 ${{x}_{1}}$ > $a$ 时，有单调性 ${{x}_{1}}$ > ${{x}_{2}}$ > $\cdots $ > ${{x}_{n}}$ > $\cdots $；当 $0$ < ${{x}_{1}}$ < $a$ 时，不具有单调性。
【难度】
【出处】
2008第7届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 ${{x}_{k+1}}{{x}_{k-1}}-x_{k}^{2}\text{=}\frac{x_{k-1}^{8}-x_{k}^{8}}{{{\left({{x}_{k}}{{x}_{k-1}} \right)}^{7}}}$ 。有 $\frac{{{x}_{k+1}}}{{{x}_{k}}}-\frac{{{x}_{k}}}{{{x}_{k-1}}}\text{=}\frac{1}{x_{k}^{8}}-\frac{1}{x_{k-1}^{8}}$，即 $\frac{{{x}_{k-1}}}{{{x}_{k}}}-\frac{1}{x_{k}^{8}}\text{=}\frac{{{x}_{k}}}{{{x}_{k-1}}}-\frac{1}{x_{k-1}^{8}}\text{=}\cdots\text{=}\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}-\frac{1}{x_{1}^{8}}\text{=}\frac{7}{8}$ 。于是，${{x}_{k+1}}\text{=}\frac{7}{8}{{x}_{k}}+x_{k}^{-7}$ 。 当 ${{x}_{1}}$ > $0$ 时，${{x}_{k}}$ > $0\left( k\geqslant 2 \right)$ 。由于 ${{x}_{k+1}}-{{x}_{k}}\text{=}{{x}_{k}}\left(x_{k}^{-8}-\frac{1}{8} \right)$，则当 $x_{k}^{-8}-\frac{1}{8}$ < $0$，即 ${{x}_{k}}$ > ${{8}^{\frac{1}{8}}}$ 时，有 ${{x}_{k+1}}-{{x}_{k}}$ < $0$，即 ${{x}_{k+1}}$ < ${{x}_{k}}\left(k\geqslant 1 \right)$ 。 而 ${{x}_{k+1}}\text{=}\frac{7}{8}{{x}_{k}}+x_{k}^{-7}\ge8\sqrt[8]{\frac{1}{{{8}^{7}}}}\text{=}{{8}^{\frac{1}{8}}}$，当且仅当 ${{x}_{k}}\text{=}{{8}^{\frac{1}{8}}}$ 时，等号成立。 于是，取 $a\text{=}{{8}^{\frac{1}{8}}}$，则当 ${{x}_{1}}$ > ${{8}^{\frac{1}{8}}}$ 时，有 ${{x}_{1}}$ > ${{x}_{2}}$ > $\cdots $ > ${{x}_{n}}$ > $\cdots$ 。当 ${{x}_{1}}$ < ${{8}^{\frac{1}{8}}}$ 时，${{x}_{2}}$ > ${{x}_{1}}$ 且 ${{x}_{1}}$ > ${{x}_{2}}$ > $\cdots $ > ${{x}_{n}}$ > $\cdots$ 。故所求常数 $a\text{=}{{8}^{\frac{1}{8}}}$ 。
答案
解析
备注
