2008年全国高中数学联赛福建省预赛

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  数列

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  数列的性质

略

 必要性 若 $x_1,x_2,x_3,\cdots $ 是一个等比数列，设 $x_k=ar^{k-1}$，则\[\begin{split} \dfrac {x_1}{x_2}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac {x_n^2}{x_kx_{k+1}}&=\dfrac {r^{2(n-1)}}{r}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac 1{r^{2k-1}}\\&=1+r^2+\cdots +r^{2(n-2)}\\&=\dfrac {r^{2(n-1)}-1}{r^2-1}\\&=\dfrac {x_n^2-x_1^2}{x_2^2-x_1^2}.\end{split}\] 充分性 当 $n=2$ 时，两边都等于 $1$．当 $n=3$ 时，由$$\dfrac {x_1}{x_2}\left(\dfrac {x_3^2}{x_1x_2}+\dfrac {x_3^2}{x_2x_3}\right)=\dfrac {x_3^2-x_1^2}{x_2^2-x_1^2},$$化简得 $x_1x_3=x_2^2$．故 $x_1,x_2,x_3$ 成等比数列．假设 $x_1,x_2,\cdots .x_{n-1}$ 成等比数列 $(n\geqslant 4)$．记 $x_k=ar^{k-1}(k=1,2,\cdots ,n-1),x_n=au_n$，则由条件知，$$\dfrac {u_n^2}{r}\left(\dfrac 1r+\dfrac 1{r^3}+\cdots +\dfrac 1{r^{2n-5}}+\dfrac 1{r^{n-2}u_n}\right)=\dfrac {u_n^2-1}{r^2-1},$$两边同乘以 $(r^2-1)r^{2n-1}$，得$$[u_n^2(1+r^2+r^4+\cdots +r^{2n-6})+r^{n-3}u_n](r^2-1)=(u_n^2-1)r^{2n-4},$$因此$$u_n^2-(r^{n-1}-r^{n-3})u_n-r^{2n-4}=0,$$则$$(u_n-r^{n-1})(u_n+r^{n-3})=0.$$结合 $u_n>0$，可得 $u_n=r^{n-1}$，即 $x_n=ar^{n-1}$，从而 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 成等比数列．由数学归纳法知，$x_1,x_2,x_3,\cdots $ 是一个等比数列．