题目 在数列 $\{x_{n}\}$ 中，$x_{n}=p^{n}+q^{n}$，$p,q\in\mathbb R$，$x_{1}=1,x_{3}=4$． 问题1 求证：$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}$； 答案1 略 解析1 因为 $p+q=1$，$p^{3}+q^{3}=4$，而\[p^{3}+q^{3}=(p+q)(p^{2}-pq+q^{2}),\]所以$$p^{2}-pq+q^{2}=4.$$又因为 $p^{2}+2pq+q^{2}=1$，所以\[x_{2}=p^{2}+q^{2}=3,\]因此$$p^{2}+(1-p)^{2}=3,$$故$$p^{2}=p+1,q^{2}=q+1,$$于是\[\begin{split}x_{n+2}&=p^{n+2}+q^{n+2}=p^{n}\cdot p^{2}+q^{n}\cdot q^{2}\\&=p^{n(p+1)}+q^{n}(q+1)\\&=p^{n+1}+q^{n+1}+p^{n}+q^{n}\\&=x_{n+1}+x_{n}.\end{split}\] 备注1 问题2 指出 $x_{2013}$ 的末位数字，但不必证明． 答案2 $6$ 解析2 数列 $\{x_{n}\}$ 的前面若干项模 $10$ 为：$$1,3,4,-3,1,-2,-1,-3,-4,3,-1,2,1,3,4,\cdots.$$观察发现，从第一项起，每隔 $12$ 项，个位数字重复出现，即若$$x_{n}=r_{n}(\mod 10),r\in\{0,1,2,\cdots,9\}$$则数列 $\{r_{n}\}$ 的周期为 $12$．<br/>由于 $2013=167\times 12+9$，故 $r_{2013}=r_{9}=6$． 备注2