已知数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_1>0;x_{n+1}=\sqrt 5x_n+2\sqrt{x_n^2+1},n \in\mathbb N^*$．证明：在 $x_1,x_2,\cdots, x_{2016}$ 中，至少存在 $672$ 个无理数．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由归纳得 $\{x_n\}$ 为正项数列，且\[x_{n+1}=\sqrt 5x_n+2\sqrt{x_n^2+1}>x_n.\]由题设，\[(x_{n+1}-\sqrt 5x_n)^2=4(x_n^2+1),\]即\[x_{n+1}^2+x_n^2-2\sqrt 5x_n x_{n+1}=4;\]同理得\[x_{n+2}^2+x_{n+1}^2-2\sqrt 5x_{n+1} x_{n+2}=4.\]两式相减得\[x_{n+2}^2-x_n^2-2\sqrt 5x_{n+1}(x_{n+2}-x_n)=0.\]即\[(x_{n+2}-x_n)(x_{n+2}+x_n-2\sqrt 5x_{n+1})=0.\]从而\[x_{n+2}+x_n-2\sqrt 5x_{n+1}=0,\dfrac{x_{n+2}+x_n}{x_{n+1}}=2\sqrt 5,\]所以，$x_n,x_{n+1},x_{n+2}$ 三项中至少有一项为无理数．从而 $x_1,x_2, \cdots, x_{2016}$ 中至少有 $\left[\dfrac{2016}3\right]=672$ 项为无理数．
另一方面设 $x_{2k}=\sqrt 5a_{2k}, x_{2k+1}=a_{2k+1}$，其中 $a_n$ 均为实数，且满足：\[a_1=a_2=1,a_{2k-1}+a_{2k+1}=10a_{2k},\]\[a_{2k}+a_{2k+2}=2a_{2k+1},k \in \mathbb N.\]则 $x_1,x_2, \cdots, x_{2016}$ 中含有 $\left[\dfrac{2016}3\right]=672$ 项为无理数．
另一方面设 $x_{2k}=\sqrt 5a_{2k}, x_{2k+1}=a_{2k+1}$，其中 $a_n$ 均为实数，且满足：\[a_1=a_2=1,a_{2k-1}+a_{2k+1}=10a_{2k},\]\[a_{2k}+a_{2k+2}=2a_{2k+1},k \in \mathbb N.\]则 $x_1,x_2, \cdots, x_{2016}$ 中含有 $\left[\dfrac{2016}3\right]=672$ 项为无理数．
答案
解析
备注
