数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{0}=0$，$a_{n+1}=k a_{n}+\sqrt{\left(k^{2}-1\right) a_{n}^{2}+1}, n=0,1,2, \cdots$，其中 $k$ 为给定的正整数，证明：数列 $\{a_n\}$ 的每一项都是整数，且 $2 k | a_{2 n}, n=0,1,2, \cdots$．
【难度】
【出处】
2003年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题设可得 $a_{n+1}^{2}-2 k a_{n} a_{n+1}+a_{n}^{2}-1=0$，所以 $a_{n+2}^{2}-2 k a_{n+1} a_{n+2}+a_{n+1}^{2}-1=0$，将上面两式相减，得 $a_{n+2}^{2}-a_{n}^{2}-2 k a_{n+1} a_{n+2}-2 k a_{n} a_{n+1}=0$，即 $\left(a_{n+2}-a_{n}\right)\left(a_{n+2}+a_{n}-2 k a_{n+1}\right)=0$．
由题设条件易知，数列 $\{a_n\}$ 是严格递增的，所以 $a_{n+2}=2 k a_{n+1}-a_{n}$ ①
结合 $a_{0}=0, a_{1}=1$ 知，数列 $\{a_n \}$ 的每一项都是整数．
因为数列 $\{a_n\}$ 的每一项都是整数，由 ① 可知 $2 k | a_{n}+2-a_{n}$ ②
于是，由 $2 k | a_{0}$，及 ② 式可得 $2 k | a_{2 n}, n=0,1,2, \cdots$．
由题设条件易知，数列 $\{a_n\}$ 是严格递增的，所以 $a_{n+2}=2 k a_{n+1}-a_{n}$ ①
结合 $a_{0}=0, a_{1}=1$ 知，数列 $\{a_n \}$ 的每一项都是整数．
因为数列 $\{a_n\}$ 的每一项都是整数，由 ① 可知 $2 k | a_{n}+2-a_{n}$ ②
于是，由 $2 k | a_{0}$，及 ② 式可得 $2 k | a_{2 n}, n=0,1,2, \cdots$．
答案
解析
备注
