在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1,a_2$ 是给定的非零整数，$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_{n}|$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
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若 $a_{16}=4,a_{17}=1$，求 $a_{2018}$标注答案$a_{2018}=1$解析因 $a_{16}=4,a_{17}=1,a_{18}=3,a_{19}=2,a_{20}=1,a_{21}=1,a_{22}=0,a_{23}=1,a_{24}=1,a_{25}=0,\cdots$
所以自第 $20$ 项起，每三个相邻的项周期的取值为 $1,1,0$．又 $2018=19\times 19+666\times 3+1$，故 $a_{2018}=1$． -
证明：从 $\{a_n\}$ 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列．标注答案略解析首先证明：数列 $\{a_n\}$ 必在有限项后出现"0"项．假设 $\{a_n\}$ 中没有"0"项，由于 $a_{n+2}=|a_{n+1}-a_{n}|$，所以当 $n\geqslant 3$ 时，都有 $a_n\geqslant 1$．
若 $a_{n+1}>a_{n}$，则 $a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}\leqslant a_{n+1}-1(n\geqslant 3)$．
若 $a_{n+1}<a_n$，则 $a_{n+2}=a_n-a_{n-1}\leqslant a_n-1(n\geqslant 3)$．即 $a_{n+2}$ 要么比 $a_{n+1}$ 至少小 $1$，要么比 $a_n$ 至少 $1$，令 $b_n=\begin{cases}
a_{2n+1},a_{2n+1}>a_{2n+2}\\
a_{2n+2},a_{2n+1}<a_{2n+2}\\
\end{cases}n=1,2,3,\cdots$
则 $0<b_{n+1}\leqslant b_n-1$．
由于 $b_1$ 是确定的正整数，这样下去，必然存在某项 $b_k<0$，这与 $b_k>0$ 矛盾，故 $\{a_n\}$ 中必有"0"项．
若第一次出现的"0"项为 $a_n$．记 $a_{n-1}=M(M\ne 0)$，则自第 $n$ 项开始，每三个相邻的项周期的取值 $0,M,M$，即 $a_{n+3k}=0,a_{n+3k+1}=M,a_{n+3k+2}=M,k=0,1,2,\cdots$ 所以数列 $\{a_n\}$ 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
