设正实数 $a、b、c$ 满足 $a+b+c=1$，证明：$10\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)-9\left(a^{5}+b^{5}+c^{5}\right) \geqslant 1$
【难度】
【出处】
2005年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为
$\displaystyle \sum a^{3}=1-3 \prod(a+b)$
$\displaystyle \sum a^{5}=1-5 \prod(a+b)\left(\sum a^{2}+\sum a b\right)$
所以原不等式
$\displaystyle \Leftrightarrow 10\left[1-3 \prod(a+b)\right]-9\left[1-5 \prod(a+b)\left(\sum a^{2}+\sum a b\right)\right] \geqslant 1$
$\displaystyle \Leftrightarrow 45 \prod(a+b)\left(\sum a^{2}+\sum a b\right) \geqslant 30 \prod(a+b)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3\left(\sum a^{2}+\sum a b\right) \geqslant 2=2\left(\sum a\right)^{2}=2\left(\sum a^{2}+2 \sum a b\right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum a^{2} \geqslant \sum a b$ ①
而 $a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b, b^{2}+c^{2} \geqslant 2 b c, c^{2}+a^{2} \geqslant 2 a c$，故2 $\displaystyle \sum a^{2} \geqslant 2 \sum a b$，即 $\displaystyle \sum a^{2} \geqslant \sum a b$，即 ① 成立．
从而原不等式成立．
$\displaystyle \sum a^{3}=1-3 \prod(a+b)$
$\displaystyle \sum a^{5}=1-5 \prod(a+b)\left(\sum a^{2}+\sum a b\right)$
所以原不等式
$\displaystyle \Leftrightarrow 10\left[1-3 \prod(a+b)\right]-9\left[1-5 \prod(a+b)\left(\sum a^{2}+\sum a b\right)\right] \geqslant 1$
$\displaystyle \Leftrightarrow 45 \prod(a+b)\left(\sum a^{2}+\sum a b\right) \geqslant 30 \prod(a+b)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3\left(\sum a^{2}+\sum a b\right) \geqslant 2=2\left(\sum a\right)^{2}=2\left(\sum a^{2}+2 \sum a b\right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum a^{2} \geqslant \sum a b$ ①
而 $a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b, b^{2}+c^{2} \geqslant 2 b c, c^{2}+a^{2} \geqslant 2 a c$，故2 $\displaystyle \sum a^{2} \geqslant 2 \sum a b$，即 $\displaystyle \sum a^{2} \geqslant \sum a b$，即 ① 成立．
从而原不等式成立．
答案
解析
备注
