设 $n$ 为给定的正整数，求最大的正整数 $k$，使得存在三个由非负整数组成的 $k$ 元集 $A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\}, B=\left\{y_{1}\right.$ $y_{2}, \cdots, y_{k} \}$ 和 $C=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{k}\right\}$ 满足：对任意 $1 \leqslant j \leqslant k$，都有 $x_{j}+y_{j}+z_{j}=n$．
【难度】
【出处】
2008年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由条件可知 $\displaystyle k n \geqslant \sum\limits_{i=1}^{k}\left(x_{i}+y_{i}+z_{i}\right) \geqslant 3 \sum_{i=0}^{k-1} i=\frac{3 k(k-1)}{2}$．
因此，$k \leqslant\left[\dfrac{2 n}{3}\right]+1$，其中 $\left[\dfrac{2 n}{3}\right]$ 表示不超过 $\dfrac{2 n}{3}$ 的最大整数．
下面给出 $k=\left[\dfrac{2 n}{3}\right]+1$ 的例子．令 $m \in \mathbf{Z}^{+}$．
若 $n=3m$，对 $1\leqslant j\leqslant m+1$，令 $x_{j}=j-1, y_{j}=m+j-1,z_{j}=2 m-2 j+2$；对 $m+2 \leqslant j \leqslant 2 m+1$，令 $x_{j}=j-1, y_{j}=j-m-2,z_{j}=4 m-2 j+3$ 即可；
若 $n=3 m+1$，对 $1 \leqslant j \leqslant m$，令 $x_{j}=j-1, y_{j}=m+j, z_{j}=2 m-2 j+2$；对 $m+1 \leqslant j \leqslant 2 m$，令 $x_{j}=j+1, y_{j}=j-m-1,z_{j}=4 m+1-2 j$；而 $x_{2 m+1}=m, y_{2 m+1}=2 m+1, z_{2 m+1}=0$ 即可；
若 $ n = 3m+2$，对 $1 \leqslant j \leqslant m+1$，令 $x_{j}=j-1, y_{j}=m+j, z_{j}=2 m-2 j+3$；对 $m+2 \leqslant j \leqslant 2 m+1$，令 $x_{j}=j, y_{j}=j-m-2, z_{j}=4 m-2 j+4$；而 $x_{2 m+2}=2 m+2, y_{2 m+2}=m,z_{2 m+2}=0$ 即可．
综上可知，$k$ 的最大值为 $\left[\dfrac{2 n}{3}\right]+1$．
因此，$k \leqslant\left[\dfrac{2 n}{3}\right]+1$，其中 $\left[\dfrac{2 n}{3}\right]$ 表示不超过 $\dfrac{2 n}{3}$ 的最大整数．
下面给出 $k=\left[\dfrac{2 n}{3}\right]+1$ 的例子．令 $m \in \mathbf{Z}^{+}$．
若 $n=3m$，对 $1\leqslant j\leqslant m+1$，令 $x_{j}=j-1, y_{j}=m+j-1,z_{j}=2 m-2 j+2$；对 $m+2 \leqslant j \leqslant 2 m+1$，令 $x_{j}=j-1, y_{j}=j-m-2,z_{j}=4 m-2 j+3$ 即可；
若 $n=3 m+1$，对 $1 \leqslant j \leqslant m$，令 $x_{j}=j-1, y_{j}=m+j, z_{j}=2 m-2 j+2$；对 $m+1 \leqslant j \leqslant 2 m$，令 $x_{j}=j+1, y_{j}=j-m-1,z_{j}=4 m+1-2 j$；而 $x_{2 m+1}=m, y_{2 m+1}=2 m+1, z_{2 m+1}=0$ 即可；
若 $ n = 3m+2$，对 $1 \leqslant j \leqslant m+1$，令 $x_{j}=j-1, y_{j}=m+j, z_{j}=2 m-2 j+3$；对 $m+2 \leqslant j \leqslant 2 m+1$，令 $x_{j}=j, y_{j}=j-m-2, z_{j}=4 m-2 j+4$；而 $x_{2 m+2}=2 m+2, y_{2 m+2}=m,z_{2 m+2}=0$ 即可．
综上可知，$k$ 的最大值为 $\left[\dfrac{2 n}{3}\right]+1$．
答案
解析
备注
