求满足下述条件的最小正实数 $k$：对任意不小于 $k$ 的 $4$ 个互不相同的实数 $a、b、c、d$，都存在 $a、b、c、d$ 的一个排列 $p、q、r、s$，使得方程 $\left(x^{2}+p x+q\right)\left(x^{2}+r x+s\right)=0$ 有 $4$ 个互不相同的实数根．
【难度】
【出处】
2006年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
所求最小正实数 $k= 4$．
一方面，若 $k<4$，取 $a, b, c, d \in[k, \sqrt{4 k})$，则对 $(a, b, c, d)$ 的任意排列 $(p,q, r, s)$，方程 $x^{2}+p x+q=0$ 的判别式 $\Delta=p^{2}-4 q<4 k-4 q \leqslant 4 k-4 k=0$，该方程无实数根．所以，$k\geqslant 4$．
另一方面，设 $a、b、c、d$ 是不小于 $4$ 的 $4$ 个不同实数，不妨设 $4 \leqslant a<b<c<d$，考察方程 $x^{2}+d x+a=0$ ①
和 $x^{2}+c x+b=0$ ②
首先，$d^{2}-4 a>4(d-a)>0, c^{2}-4 b>4(c-b)>0$，故 ①，② 都有两个不同实根．
其次，若 ① 与 ② 有公共实根 $\beta$，则 $\left\{\begin{array}{l}{\beta^{2}+d \beta+a=0} \\ {\beta^{2}+c \beta+b=0}\end{array}\right.$ 两式相减，得 $\beta=\dfrac{b-a}{d-c}>0$，这时，$\beta^{2}+d \beta+a>0$，矛盾．所以 ① 与 ② 没有公共实根．
从而 $k=4$ 符合要求．综上，问题的答案为 $k= 4$．
一方面，若 $k<4$，取 $a, b, c, d \in[k, \sqrt{4 k})$，则对 $(a, b, c, d)$ 的任意排列 $(p,q, r, s)$，方程 $x^{2}+p x+q=0$ 的判别式 $\Delta=p^{2}-4 q<4 k-4 q \leqslant 4 k-4 k=0$，该方程无实数根．所以，$k\geqslant 4$．
另一方面，设 $a、b、c、d$ 是不小于 $4$ 的 $4$ 个不同实数，不妨设 $4 \leqslant a<b<c<d$，考察方程 $x^{2}+d x+a=0$ ①
和 $x^{2}+c x+b=0$ ②
首先，$d^{2}-4 a>4(d-a)>0, c^{2}-4 b>4(c-b)>0$，故 ①，② 都有两个不同实根．
其次，若 ① 与 ② 有公共实根 $\beta$，则 $\left\{\begin{array}{l}{\beta^{2}+d \beta+a=0} \\ {\beta^{2}+c \beta+b=0}\end{array}\right.$ 两式相减，得 $\beta=\dfrac{b-a}{d-c}>0$，这时，$\beta^{2}+d \beta+a>0$，矛盾．所以 ① 与 ② 没有公共实根．
从而 $k=4$ 符合要求．综上，问题的答案为 $k= 4$．
答案
解析
备注
