设 $n$ 是给定的正整数，$n \geqslant 2, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in(0,1)$．求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt[6]{a_{i}\left(1-a_{i+1}\right)}$ 的最大值，这里 $a_{n+1}=a_{1}$．
【难度】
【出处】
2006年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $AM-GM$ 不等式，得
$\begin{aligned} & \sqrt[6]{a_{i}\left(1-a_{i+1}\right)} \\=& 2^{\frac{4}{6}} \sqrt[6]{a_{i}\left(1-a_{i+1}\right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \\ \leqslant & 2^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{6}\left(a_{i}+1-a_{i+1}+2\right) \\=& 2^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{6}\left(a_{i}-a_{i+1}+3\right) \end{aligned}$
所以
$\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n} \sqrt[6]{a_{i}\left(1-a_{i+1}\right)} \\ \leqslant & 2^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-a_{i+1}+3\right) \\=& 2^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{6} \cdot 3 n=\frac{n}{\sqrt[3]{2}} \end{aligned}$
等号成立当且仅当 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=\dfrac{1}{2}$．故 $y$ 的最大值是 $\dfrac{n}{\sqrt[3]{2}}$．
$\begin{aligned} & \sqrt[6]{a_{i}\left(1-a_{i+1}\right)} \\=& 2^{\frac{4}{6}} \sqrt[6]{a_{i}\left(1-a_{i+1}\right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \\ \leqslant & 2^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{6}\left(a_{i}+1-a_{i+1}+2\right) \\=& 2^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{6}\left(a_{i}-a_{i+1}+3\right) \end{aligned}$
所以
$\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n} \sqrt[6]{a_{i}\left(1-a_{i+1}\right)} \\ \leqslant & 2^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-a_{i+1}+3\right) \\=& 2^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{6} \cdot 3 n=\frac{n}{\sqrt[3]{2}} \end{aligned}$
等号成立当且仅当 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=\dfrac{1}{2}$．故 $y$ 的最大值是 $\dfrac{n}{\sqrt[3]{2}}$．
答案
解析
备注
