设 $x, y, z \in(0,1)$，满足：$\sqrt{\dfrac{1-x}{y z}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{z x}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{x y}}=2$．求 $xyz$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2008年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $u=\sqrt[6]{x y z}$，则由条件及均值不等式可知
$\displaystyle \begin{aligned} 2 u^{3} &=2 \sqrt{x y z}=\frac{1}{\sqrt{3}} \sum \sqrt{x(3-3 x)} \\ & \leqslant \frac{1}{\sqrt{3}} \sum \frac{x+(3-3 x)}{2} \\ &=\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z) \\ & \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{2}-\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{x y z} \\ &=\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\sqrt{3} u^{2} \end{aligned}$
故 $4 u^{3}+2 \sqrt{3} u^{2}-3 \sqrt{3} \leqslant 0$
即 $(2 u-\sqrt{3})\left(2 u^{2}+2 \sqrt{3} u+3\right) \leqslant 0$
所以，$u \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}$．依此可知，$x y z \leqslant \dfrac{27}{64}$，等号在 $x=y=z=\dfrac{3}{4}$ 时可以取得．因此，所求最大值为 $\dfrac{27}{64}$．
$\displaystyle \begin{aligned} 2 u^{3} &=2 \sqrt{x y z}=\frac{1}{\sqrt{3}} \sum \sqrt{x(3-3 x)} \\ & \leqslant \frac{1}{\sqrt{3}} \sum \frac{x+(3-3 x)}{2} \\ &=\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z) \\ & \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{2}-\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{x y z} \\ &=\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\sqrt{3} u^{2} \end{aligned}$
故 $4 u^{3}+2 \sqrt{3} u^{2}-3 \sqrt{3} \leqslant 0$
即 $(2 u-\sqrt{3})\left(2 u^{2}+2 \sqrt{3} u+3\right) \leqslant 0$
所以，$u \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}$．依此可知，$x y z \leqslant \dfrac{27}{64}$，等号在 $x=y=z=\dfrac{3}{4}$ 时可以取得．因此，所求最大值为 $\dfrac{27}{64}$．
答案
解析
备注
