设 $P$ 为正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 内的任意一点，直线 $A_{i} P$ 交 正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的边界于另一点 $B_{i}, i=1,2, \cdots, n$．
证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} P A_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} P B_{i}$．
证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} P A_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} P B_{i}$．
【难度】
【出处】
2008年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $t=\left[\dfrac{n}{2}\right]+1$，并设 $A_{n+j}=A_{j}, j=1,2, \cdots, n$．
注意到，正 $n$ 边形的任意一个顶点与边界上任意一点之间的距离不大于其最长的对角线的长度 $d$．因此，对任意 $1\leqslant i\leqslant n$，都有 $A_{i} P+P B_{i}=A_{i} B_{i} \leqslant d$ ①
另一方面，由三角形两边之和大于第三边可知，对任意 $1\leqslant i\leqslant n$，都有 $A_{i} P+P A_{i+t} \geqslant A_{i} A_{i+t}=d$ ②
①、② 分别对 $i=1,2, \cdots, n$ 求和可得 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left(A_{i} P+P A_{i+t}\right) \geqslant n d \geqslant \sum_{i=1}^{n}\left(A_{i} P+P B_{i}\right)$，
即 $\displaystyle 2 \sum\limits_{i=1}^{n} P A_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} A_{i} P+\sum_{i=1}^{n} P B_{i}$，依次可知命题成立．
注意到，正 $n$ 边形的任意一个顶点与边界上任意一点之间的距离不大于其最长的对角线的长度 $d$．因此，对任意 $1\leqslant i\leqslant n$，都有 $A_{i} P+P B_{i}=A_{i} B_{i} \leqslant d$ ①
另一方面，由三角形两边之和大于第三边可知，对任意 $1\leqslant i\leqslant n$，都有 $A_{i} P+P A_{i+t} \geqslant A_{i} A_{i+t}=d$ ②
①、② 分别对 $i=1,2, \cdots, n$ 求和可得 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left(A_{i} P+P A_{i+t}\right) \geqslant n d \geqslant \sum_{i=1}^{n}\left(A_{i} P+P B_{i}\right)$，
即 $\displaystyle 2 \sum\limits_{i=1}^{n} P A_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} A_{i} P+\sum_{i=1}^{n} P B_{i}$，依次可知命题成立．
答案
解析
备注
