2008年中国西部数学奥林匹克试题

• 知识点

  >

  二试代数部分

略

（1）当 $b<0$ 且 $m $ 为偶数时，如果 $a b^{m-1}<-2$，那么有 $a b^{m}+b>-b>0$，于是 $a\left(a b^{m}+b\right)^{m}+b>a b^{m}+b>0$，即 $x_{3}>x_{2}>0$．
利用 $a x^{m}+b$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，可知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的每一项都比前一项大，并且从第二项起每一项都大于 $-b$．
考察数列 $\{x_n\}$ 中的连续三项 $x_{n}, x_{n+1}, x_{n+2}, n=2,3, \cdots$，我们有
$\begin{aligned} & x_{n+2}-x_{n+1}=a\left(x_{n+1}^{m}-x_{n}^{m}\right) \\=& a\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\left(x_{n+1}^{m-1}+x_{n+1}^{m-2} x_{n}+\cdots+x_{n}^{m-1}\right) \\>& amx_{n}^{m-1}\left(x_{n+1}-x_{n}\right) \\>& a m(-b)^{m-1}\left(x_{n+1}-x_{n}\right) \\>& 2 m\left(x_{n+1}-x_{n}\right) \\>& x_{n+1}-x_{n} \end{aligned}$
这表明数列 $\{x_n\}$ 中相邻两项的差距越来越大，因此该数列是无界的．
若 $a b^{m-1} \geqslant-2$，用数学归纳法证明数列 $\{x_n\}$ 的每一项都落在区间 $[b,-b]$ 中．第一项 $b$ 已经在区间 $[b,-b]$ 中，如果某项 $x_n$ 满足 $b \leqslant x_{n} \leqslant-b$，那么 $0 \leqslant x_{n}^{m} \leqslant b^{m}$，从而 $b=a \cdot 0^{m}+b \leqslant x_{n+1} \leqslant a b^{m}+b \leqslant-b$．
所以，此时数列 $\{x_n\}$ 有界的充要条件为 $a b^{m-1} \geqslant-2$．
（2）当 $b>0$ 时，数列 $\{x_n\}$ 的每一项都是正数．首先来证明：数列 $\{x_n\}$ 有界的充要条件是方程 $a x^{m}+b=x$ 有正实根．
如果方程 $a x^{m}+b=x$ 无正实根，那么函数 $p(x)=a x^{m}+b-x$，在 $(0,+\infty)$ 上的最小值大于 $0$，不妨设最小值为 $t$．那么对于数列中的任意连续两项 $x_n$ 与 $x_{n+1}$，有 $x_{n+1}-x_{n}=a x_{n}^{m}-x_{n}+b$，故数列 $\{x_n\}$ 中后一项至少比前一项大 $t$，因而此时无界．
如果 $a x^{m}+b=x$ 有正实根，设其一正根为 $x_0$，下面利用归纳法证明数列 $\{x_n\}$ 中的每一项都小于 $x_0$．首先第一项 $b$ 显然小于 $x_0$，假设某项 $x_n<x_0$，由 $ax^m+b$ 在 $[0,+\infty)$ 上是增函数知 $x_{n+1}=a x_{n}^{m}+b<a x_{0}^{m}+b=x_{0}$，因此数列有界．
而 $a x^{m}+b=x$ 有正根的充要条件是 $ax^{m-1}+\dfrac{b}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值不大于 $1$，而 $a x^{m-1}+\frac{b}{x}$ 的最小值可以由平均值不等式给出，即
$\begin{aligned} a x^{m-1}+\frac{b}{x} &=a x^{m-1}+\frac{b}{(m-1) x}+\cdots+\frac{b}{(m-1) x} \geqslant m \sqrt[m]{\frac{a b^{m-1}}{(m-1)^{m-1}}} \end{aligned}$
此时数列 $\{x_n\}$ 有界的充要条件是 $m \sqrt[m]{\dfrac{a b^{m-1}}{(m-1)^{m-1}}} \leqslant 1$ 即 $a b^{m-1} \leqslant \dfrac{(m-1)^{m-1}}{m^{m}}$．
当 $b<0,m$ 为奇数时，令 $y_{n}=-x_{n}$，则 $y_{1}=-b>0, y_{n+1}=a y_{n}^{m}+(-b)$，注意到 $\{x_n\}$ 有界的充要条件是 $\{y_n\}$ 有界，故可转化为上述情形．综上可知（2）成立．