对于任意 $a,b,c,d\in \mathbf{R}$，${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\geqslant m\left( ac+bd+bc \right)$ 恒成立，求 $m$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
若 $a,b,c,d\geqslant 0$，
则 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=\left({{a}^{2}}+\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}{{c}^{2}} \right)+\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\left({{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}{{b}^{2}}+{{d}^{2}}\right)$
$\geqslant \left(\sqrt{5}-1 \right)\left( ac+bc+bd \right)$
等号成立条件 $a:b:c:d=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}:1:1:\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
若 $a,b,c,d<0$，$a,b,c,d$ 集体变号，$m=\sqrt{5}-1$ 依然成立
若 $a,b,c,d$ 不全同号，若 $ac+bc+bd\leqslant 0$，$m=\sqrt{5}-1$ 依然成立
若 $a,b,c,d$ 不全同号，若 $ac+bc+bd>0$，
由 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\geqslant\left( \sqrt{5}-1 \right)\left( \left| a \right|\left| c \right|+\left| b\right|\left| c \right|+\left| b \right|\left| d \right| \right)\geqslant \left(\sqrt{5}-1 \right)\left( ac+bc+bd \right)$，$m=\sqrt{5}-1$ 依然成立．
故 $m$ 最大值为 $\sqrt{5}-1$．
则 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=\left({{a}^{2}}+\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}{{c}^{2}} \right)+\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\left({{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}{{b}^{2}}+{{d}^{2}}\right)$
$\geqslant \left(\sqrt{5}-1 \right)\left( ac+bc+bd \right)$
等号成立条件 $a:b:c:d=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}:1:1:\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
若 $a,b,c,d<0$，$a,b,c,d$ 集体变号，$m=\sqrt{5}-1$ 依然成立
若 $a,b,c,d$ 不全同号，若 $ac+bc+bd\leqslant 0$，$m=\sqrt{5}-1$ 依然成立
若 $a,b,c,d$ 不全同号，若 $ac+bc+bd>0$，
由 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\geqslant\left( \sqrt{5}-1 \right)\left( \left| a \right|\left| c \right|+\left| b\right|\left| c \right|+\left| b \right|\left| d \right| \right)\geqslant \left(\sqrt{5}-1 \right)\left( ac+bc+bd \right)$，$m=\sqrt{5}-1$ 依然成立．
故 $m$ 最大值为 $\sqrt{5}-1$．
答案
解析
备注
