设正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{31}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{31}$ 满足
（1）$a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{31} \leqslant 2015,b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{31} \leqslant 2015$
（2）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{31}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{31}$．
求 $ S=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right|+\cdots+\left|a_{31}-b_{31}\right|$ 的最大值．
（1）$a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{31} \leqslant 2015,b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{31} \leqslant 2015$
（2）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{31}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{31}$．
求 $ S=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right|+\cdots+\left|a_{31}-b_{31}\right|$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2015第31届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
定义集合 $A=\left\{m | a_{m}>b_{m}, 1 \leqslant m \leqslant 31\right\},B=\left\{n | a_{n}<b_{n}, 1 \leqslant n \leqslant 31\right\}$．
令 $\displaystyle S_{1}=\sum\limits_{m \in A}\left(a_{m}-b_{m}\right), S_{2}=\sum_{m \in B}\left(b_{n}-a_{n}\right)$．则 $S=S_1+S_2$．
又由条件（2）知
$\displaystyle S_{1}-S_{2}=\sum\limits_{m \in A \cup B}\left(a_{m}-b_{m}\right)=0\Rightarrow S_{1}=S_{2}=\dfrac{S}{2}$
当 $A=\varnothing, S=2 S_{1}=0$．
以下设 $A \neq \varnothing$，则 $B\ne\varnothing$．此时，$|A|,|B|$ 为正整数，且 $|A|+|B| \leqslant 31$．
记 $u=a_{k}-b_{k}=\max\limits _{m \in A}\left\{a_{m}-b_{m}\right\},v=b_{l}-a_{l}=\max\limits _{n \in B}\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$
下面证明：$u+v \leqslant 1984$．
不失一般性，设 $1 \leqslant k<l \leqslant 31$．
则 $u+v=a_{k}-b_{k}+b_{l}-a_{l},=b_{31}-\left(b_{31}-b_{l}\right)-b_{k}-\left(a_{l}-a_{k}\right)$．
由条件（1）有 $b_{31} \leqslant 2015, b_{31}-b_{l} \geqslant 31-l,b_{k} \geqslant k, a_{l}-a_{k} \geqslant l-k$
故 $u+v \leqslant 2015-(31-l)-k-(l-k)=1984$
又显然 $S_{1} \leqslant u|A|, S_{2} \leqslant v|B|$，从而
$1984 \geqslant u+v \geqslant \dfrac{S_{1}}{|A|}+\dfrac{S_{2}}{|B|} \geqslant \dfrac{S_{1}}{|A|}+\dfrac{S_{2}}{31-|A|}$
$=\dfrac{S}{2} \cdot \dfrac{31}{|A|(31-|A|)} \geqslant \dfrac{31 S}{2 \times 15 \times 16}$
$\Rightarrow S \leqslant \dfrac{2 \times 15 \times 16}{21} \times 1984=30720$
另一方面，若取
$\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{16}, a_{17}, a_{18}, \cdots, a_{31}\right)=(1,2, \cdots, 16,2001,2002, \cdots, 2015)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{31}\right)=(961,962, \cdots, 991)$
则条件（1）、（2）均满足，此时，$S=2 S_{1}=2 \times 16 \times 960=30720$．
综上，$S$ 的最大值为 $30 720$．
令 $\displaystyle S_{1}=\sum\limits_{m \in A}\left(a_{m}-b_{m}\right), S_{2}=\sum_{m \in B}\left(b_{n}-a_{n}\right)$．则 $S=S_1+S_2$．
又由条件（2）知
$\displaystyle S_{1}-S_{2}=\sum\limits_{m \in A \cup B}\left(a_{m}-b_{m}\right)=0\Rightarrow S_{1}=S_{2}=\dfrac{S}{2}$
当 $A=\varnothing, S=2 S_{1}=0$．
以下设 $A \neq \varnothing$，则 $B\ne\varnothing$．此时，$|A|,|B|$ 为正整数，且 $|A|+|B| \leqslant 31$．
记 $u=a_{k}-b_{k}=\max\limits _{m \in A}\left\{a_{m}-b_{m}\right\},v=b_{l}-a_{l}=\max\limits _{n \in B}\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$
下面证明：$u+v \leqslant 1984$．
不失一般性，设 $1 \leqslant k<l \leqslant 31$．
则 $u+v=a_{k}-b_{k}+b_{l}-a_{l},=b_{31}-\left(b_{31}-b_{l}\right)-b_{k}-\left(a_{l}-a_{k}\right)$．
由条件（1）有 $b_{31} \leqslant 2015, b_{31}-b_{l} \geqslant 31-l,b_{k} \geqslant k, a_{l}-a_{k} \geqslant l-k$
故 $u+v \leqslant 2015-(31-l)-k-(l-k)=1984$
又显然 $S_{1} \leqslant u|A|, S_{2} \leqslant v|B|$，从而
$1984 \geqslant u+v \geqslant \dfrac{S_{1}}{|A|}+\dfrac{S_{2}}{|B|} \geqslant \dfrac{S_{1}}{|A|}+\dfrac{S_{2}}{31-|A|}$
$=\dfrac{S}{2} \cdot \dfrac{31}{|A|(31-|A|)} \geqslant \dfrac{31 S}{2 \times 15 \times 16}$
$\Rightarrow S \leqslant \dfrac{2 \times 15 \times 16}{21} \times 1984=30720$
另一方面，若取
$\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{16}, a_{17}, a_{18}, \cdots, a_{31}\right)=(1,2, \cdots, 16,2001,2002, \cdots, 2015)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{31}\right)=(961,962, \cdots, 991)$
则条件（1）、（2）均满足，此时，$S=2 S_{1}=2 \times 16 \times 960=30720$．
综上，$S$ 的最大值为 $30 720$．
答案
解析
备注
