题目 已知 $a$ 是给定的实常数，设函数 $f\left(x\right) = {\left(x - a\right)^2}\left(x + b\right){{\mathrm{e}}^x}$，$b \in {\mathbb{R}}$，$x = a$ 是 $f\left(x\right)$ 的一个极大值点． 问题1 求 $b$ 的取值范围； 答案1 $(-\infty,-a)$ 解析1 由题意得\[\begin{split}f'\left(x\right)& = {{\mathrm{e}}^x}\left[(x-a)^{2}(x+b)+2(x-a)(x+b)+(x-a)^{2}\right]\\&={\rm e}^{x}(x-a)\left[(x-a)(x+b)+2(x+b)+(x-a)\right],\end{split}\]设$$h(x)=(x-a)(x+b)+2(x+b)+(x-a),$$因为 $x=a$ 为 $f(x)$ 的极大值，所以 $h(a)<0$，于是$$2(a+b)<0,$$解得实数 $b$ 的取值范围为 $(-\infty,-a)$． 备注1 问题2 设 ${x_1}$，${x_2}$，${x_3}$ 是 $f\left(x\right)$ 的 $ 3 $ 个极值点，问是否存在实数 $b$，可找到 ${x_4} \in{\mathbb{ R}}$，使得 ${x_1}$，${x_2}$，${x_3}$，${x_4}$ 的某种排列 ${x_{{i_1}}}$，${x_{{i_2}}}$，${x_{{i_3}}}$，${x_{{i_4}}}$（其中 $\left\{ {{i_1},{i_2},{i_3},{i_4}} \right\} =\left\{ {1,2,3,4} \right\}$）依次成等差数列？若存在，求所有的 $b$ 及相应的 ${x_4}$；若不存在，说明理由． 答案2 存在，$\left(b,x_4\right)= \left(-a-\dfrac{7+\sqrt{13}}{2},a+\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right),\left(-a-\dfrac{7-\sqrt{13}}{2},a+\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\right)$ 解析2 根据题意及 $(1)$ 可设 $x_{1}<x_{2}<x_{3}$，其中 $x_{2}=a$，$x_{1},x_{3}$ 是方程 $h(x)=0$ 的两个根．由于\[h(x)=x^{2}+(b-a+3)x+(2b-ab-a),\]所以\[\begin{split}&x_{1}+x_{3}=a-b-3,\\ &x_{3}-x_{1}=\sqrt{(b-a+3)^{2}-4(2b-ab-a)}=\sqrt{(a+b-1)^{2}+8}.\end{split}\]<case>情形一</case> $x_{1},x_{2},x_{3}$ 相邻时，$x_{1}+x_{3}=2x_{2}$，所以$$a-b-3=2a,$$即\[a=-b-3.\]因为\[\left|x_{4}-x_{2}\right|=x_{3}-x_{1},\]所以$$x_{4}=a\pm 2\sqrt 6.$$<case>情形二</case> $x_{1},x_{2},x_{3}$ 不相邻时，$x_{1}+x_{3}=x_{2}+x_{4}$，所以$$a-b-3=a+x_{4},$$即\[x_{4}=-b-3,\]此时\[\left|x_{4}-x_{2}\right|=\dfrac{1}{3}(x_{3}-x_{1}),\]于是$$x_{4}=a\pm \dfrac{\sqrt{(a+b-1)^{2}+8}}{3},$$解得 $\left(b,x_4\right)= \left(-a-\dfrac{7+\sqrt{13}}{2},a+\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right),\left(-a-\dfrac{7-\sqrt{13}}{2},a+\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\right)$． 备注2