已知集合 $A=\left\{\left(x,y\right)\mid x^2+y^2\leqslant 1,x,y\in{\mathbb{Z}}\right\}$，定义集合\[A\oplus B=\left\{\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right) \mid \left(x_1,y_1\right)\in A,\left(x_2,y_2\right)\in B\right\},\]如果集合 $B_n=\left\{(x,y) \mid |x|+|y|\leqslant n,x,y\in{\mathbb{Z}}\right\}$，其中 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$，求 $A\oplus B_n$ 中的元素个数 $f(n)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2n^2+6n+5$
【解析】
集合 $A$ 包含 $5$ 个元素$$\{(0,1),(0,-1),(-1,0),(1,0),(0,0)\},$$而集合 $B$ 表示一个由\[1+3+5+\cdots+(2n+1)+(2n-1)+\cdots+1\]个点构成的点阵．根据 $A\oplus B$ 的定义可知，如果将 $A \oplus$ 理解为某个操作，那么这个操作作用于单个点时，就是将这个点向上、向下、向左、向右平移一个单位以及维持不动后得到 $5$ 个点．于是当 $A\oplus$ 作用于一个点集时，就是将这个点集向上、向下、向左、向右平移一个单位以及维持不动后得到新的点集，如图（以 $n=2$ 为例）．
所以 $A\oplus B_n$ 中的元素个数为\[\begin{split} f(n)=&1+3+5+\cdots+(2n+1)+(2n+3)+(2n+1)+\cdots+3+1\\=&2\cdot\dfrac{1+2n+1}{2}\cdot(n+1)+2n+3\\=&2n^2+6n+5.\end{split} \]
所以 $A\oplus B_n$ 中的元素个数为\[\begin{split} f(n)=&1+3+5+\cdots+(2n+1)+(2n+3)+(2n+1)+\cdots+3+1\\=&2\cdot\dfrac{1+2n+1}{2}\cdot(n+1)+2n+3\\=&2n^2+6n+5.\end{split} \]
答案
解析
备注
