题目 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\geqslant 0$，$a_1=0$，且 $a_{n+1}^2+a_{n+1}-1=a_n^2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），$S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，令$$T_n=\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac 1{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots +\dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}.$$ 问题1 求证：$a_n<a_{n+1}$； 答案1 略 解析1 因为$$a_{n+1}^{2}+a_{n+1}-2=(a_{n+1}-1)(a_{n+1}+2)=(a_n-1)(a_n+1),$$所以 $a_n-1$ 的正负一直不变，因为 $a_1-1<0$，所以有 $a_n<1$．<br/>于是由 $a_{n+1}^2-a_n^2=1-a_{n+1}>0$ 得 $a_{n+1}>a_n$． 备注1 问题2 求证：$S_n>n-2$； 答案2 略 解析2 根据已知，当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\begin{split} n-S_n&=(1-a_1)+(1-a_2)+(1-a_3)+\cdots +(1-a_n)\\ &=1+(a_2^2-a_1^2)+(a_3^2-a_2^2)+\cdots +(a_n^2-a_{n-1}^2)\\ &=1+a_n^2<2,\end{split}\]而当 $n=1$ 时命题显然成立，因此原命题得证． 备注2 问题3 求证：$T_n<3$． 答案3 略 解析3 由 $a_{n+1}^2+a_{n+1}-1=a_n^2$ 可得$$\dfrac{1}{1+a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+1}}{1+a_n^2},$$从而当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\begin{split} \dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}&=\dfrac{a_2\cdot a_3\cdots a_n}{(1+a_1)(1+a_1^2)(1+a_2^2)\cdots (1+a_{n-1}^2)}\\ &<\dfrac{a_2\cdot a_3\cdots a_n}{2a_2\cdots 2a_{n-1}}=\dfrac{a_n}{2^{n-2}}<\dfrac{1}{2^{n-2}},\end{split}\]因此有$$T_n<1+1+\dfrac 12+\cdots +\dfrac{1}{2^{n-2}}<3,$$原命题得证． 备注3 利用递推式变形进行放缩往往比利用不动点改造递推公式放缩有效．<br/>每日一题[593]看我七十二变．