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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18198 590adc2c6cddca00078f39e5 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1\in\mathbb N^{\ast}$，$a_1\leqslant 36$，且 $a_{n+1}=\begin{cases}2a_n,&a_n\leqslant 18,\\2a_n-36,&a_n>18.\end{cases}$（$n=1,2,\cdots$）．记集合 $M=\left\{a_n\left|n\in\mathbb N^{\ast}\right.\right\}$． 2022-04-17 19:13:39
15749 59084b6b060a05000a4a98cf 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$，有 $2n$ 张纸牌叠成一堆，从上到下依次编号为 $1$ 到 $2n$．我们进行这样的操作：每次将所有从上往下数偶数位置的牌抽出来，保持顺序放在牌堆下方．例如 $n=3$ 时，初始顺序为 $123456$，操作后依次得到 $135246$，$154326$，$142536$，$123456$．证明：对任意正整数 $n$，操作不超过 $2n-2$ 次后，这堆牌的顺序会变回初始状态． 2022-04-17 19:35:16
15733 5909870239f91d000a7e4564 高中 解答题 高中习题 桌上放着一堆共计 $40$ 枚棋子，甲乙两人轮流进行操作，每次操作均需要把所有棋子数大于 $1$ 的堆分成两个较小的堆，规定谁能率先把所有棋子分成 $40$ 堆谁就获胜．如果甲先操作，是否有必胜策略？如果有，请给出必胜策略；如果没有，请说明理由． 2022-04-17 19:26:16
15700 590ad3c16cddca00092f703e 高中 解答题 自招竞赛 已知集合$$S_n=\left\{X\mid X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n),x_i\in\{0,1\},i=1,2,\cdots ,n\right\},n\geqslant 2,$$对于$$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in S_n,B=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)\in S_n,$$定义 $A$ 与 $B$ 的差为$$A-B=\left(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\cdots ,|a_n-b_n|\right),$$且 $A$ 与 $B$ 之间的距离为$$d(A,B)=\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|.$$ 2022-04-17 19:08:16
15671 590fc711857b42000aca3898 高中 解答题 自招竞赛 $n$ 个球队打单循环赛，第 $i$ 支球队的胜场数为 $x_i$，负场数为 $y_i$，已知 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n{x_i^3}=\sum\limits_{i=1}^{n}{y_i^3}$．求证：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n{x_i^4}=\sum\limits_{i=1}^n{y_i^4}$． 2022-04-17 19:52:15
15670 590fcdab857b420007d3e59f 高中 解答题 自招竞赛 某乒乓球培训班共有 $n$ 位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛．试确定 $n$ 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案． 2022-04-17 19:52:15
15643 59118722e020e700094b0a32 高中 解答题 自招竞赛 定义闭集合 $S$：若 $a,b \in S$，则 $a + b \in S$，$a - b \in S$． 2022-04-17 19:35:15
15641 591267e6e020e7000878f71a 高中 解答题 自招竞赛 将 $1,2,\cdots ,4n$ 分成 $n$ 组，每组 $4$ 个数，满足每组中有一个数是另三个数的算术平均数，求所有可能的正整数 $n$． 2022-04-17 19:34:15
15632 591277d7e020e7000a798add 高中 解答题 自招竞赛 $n$ 个非零空间向量，任意 $2$ 个的夹角为钝角，求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 19:29:15
15630 59127876e020e7000a798ae9 高中 解答题 自招竞赛 $6$ 个球编号为 $0, 1, 2, 3, 4, 5$，其中 $1$ 至 $5$ 中有一个球与 $0$ 编号球的重量不同（不清楚谁轻谁重）．试用没有砝码的天平称重两次，找出重量不同的那个小球． 2022-04-17 19:28:15
15626 59127a3ae020e700094b0bae 高中 解答题 自招竞赛 任意一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组成一个三角形． 2022-04-17 19:25:15
15624 59127ba3e020e70007fbed18 高中 解答题 自招竞赛 长为 $L$ 的木棒（$L$ 为整数）可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最长者长度严格小于最短者长度的两倍．例如长为 $4$ 的木棒可以锯成 $2+2$ 的两段，而长为 $7$ 的木棒第一次可以锯成 $4+3$ 的两段，第二次可以锯成 $3+2+2$ 的两段，此时这三段无法再锯．问：长为 $30$ 的木棒至多可以锯成多少段？ 2022-04-17 19:24:15
15623 59127beee020e70007fbed22 高中 解答题 自招竞赛 $12$ 个人玩一个游戏，游戏开始后每个人被随机戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽子，每个人可以看到其余 $11$ 个人的帽子的颜色，但不能看到自己帽子的颜色，游戏开始后 $12$ 人不能再交流，并被要求猜出自己帽子的颜色．请为这 $12$ 个人在游戏前商定一个方案，使得他们同时猜对自己头上帽子颜色的概率尽可能地大，并求出这种方案下同时猜对的概率． 2022-04-17 19:24:15
15617 59128b4fe020e70007fbedb4 高中 解答题 自招竞赛 某次考试共有 $333$ 名学生做对了 $1000$ 道题．做对 $3$ 道及以下为不及格，$6$ 道及以上为优秀，问不及格和优秀的人数哪个多？ 2022-04-17 19:19:15
15607 5912b5d2e020e7000878f9d0 高中 解答题 自招竞赛 现有一个数字游戏：从 $1$ 到 $100$ 这 $100$ 个数，两个人轮流写，设已经写下的数为 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\cdots,{{a}_{n}}$，若一个数 $x={{x}_{1}}{{a}_{1}}+{{x}_{2}}{{a}_{2}}+{{x}_{3}}{{a}_{3}}+\cdots +{{x}_{n}}{{a}_{n}}$（${{x}_{n}}$ 为非负整数），则这个数不能被写（如若 $3,5$ 已被写，则 $8=3+5$ 不能被写，$13=3+5\times 2$，以及 $9=3\times 3+5\times 0$ 也不能被写）．规定，最后不得不写 $1$ 的人算输．现在甲和乙玩这个游戏，已知 $5,6$ 已经被写，现在轮到甲写，问：怎样才能使甲获胜？ 2022-04-17 19:13:15
15601 5912b7c8e020e7000878f9eb 高中 解答题 自招竞赛 一场跑马比赛至多只能有 $8$ 匹马参赛，假设同一匹马参加每一场比赛速度都是一样的．问：$64$ 匹马能否通过不超过 $50$ 场的比赛分出任意两匹马之间的优劣． 2022-04-17 19:09:15
15589 591427ec1edfe20007c509aa 高中 解答题 高中习题 已知：集合 $S$ 由 $5$ 个非负实数构成，且满足对任意 $x,y\in S,x \geqslant y$，$x+y$ 与 $x-y$ 这两个数至少有一个属于 $S$．求证：一定存在正实数 $a$，使得集合 $S=\left\{0,a,2a,3a,4a\right\}$． 2022-04-17 19:03:15
15588 59277c8374a309000813f651 高中 解答题 高考真题 已知集合 $A=\{1,2,3,\cdots ,2n\}$（$n\in {\mathbb N}^+$）．对于 $A$ 的一个子集 $S$，若存在不大于 $n$ 的正整数 $m$，使得对于 $S$ 中的任意一对元素 $s_1$，$s_2$，都有 $|s_1-s_2|\ne m$，则称 $S$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 19:02:15
15586 592787fd74a309000ad0ce6e 高中 解答题 高考真题 已知集合 $A=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n\}$，其中 $a_i\in \mathbb R$（$1\leqslant i\leqslant n$，$n\geqslant 3$），$l(A)$ 表示 $a_i+a_j$ 中所有不同数值的个数，其中 $1\leqslant i<j\leqslant n $． 2022-04-17 19:01:15
15585 592788c374a309000ad0ce71 高中 解答题 高中习题 给定有限个正数满足条件 $T$：每个数都不大于 $50$ 且总和 $L=1275$．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 $150$ 且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 $150$ 与这组数之和的差 $r_{i}$ 与所有可能的其他选择相比是最小的，$r_{1}$ 称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 $r_{2}$；如此继续构成第三组（余差为 $r_{3}$），第四组（余差为 $r_{4}$），$\cdots\cdots$，直至第 $N$ 组（余差为 $r_{N}$）．把这些数全部分完为止．		 2022-04-17 19:01:15
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