$n$ 个非零空间向量，任意 $2$ 个的夹角为钝角，求 $n$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2008年南开大学自主招生考试数学试题
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
首先，从正四面体的中心出发到顶点的四个向量就满足要求．
接下来证明 $n \geqslant 5$ 时不符合题意，则只需要证明 $n = 5$ 时不符合题意即可．
不妨设其中一个向量为 $\left( {1, 0, 0} \right)$，其他四个向量分别为 $\left( {{x_i}, {y_i}, {z_i}} \right)$，其中 $i = 1, 2, 3, 4$，则 ${x_i} < 0$，对于其他四个向量中任意两个向量的数量积，$$\left( {{x_i}, {y_i}, {z_i}} \right) \cdot \left( {{x_j}, {y_j}, {z_j}} \right) = {x_i}{x_j} + {y_i}{y_j} + {z_i}{z_j} < 0,$$于是 ${y_i}{y_j} + {z_i}{z_j} < 0$，也就是说这四个向量中的任意两个向量在 $yOz$ 平面上的投影夹角均为钝角，而这显然是不可能的．
综上，$n$ 的最大值为 $4$．
接下来证明 $n \geqslant 5$ 时不符合题意，则只需要证明 $n = 5$ 时不符合题意即可．不妨设其中一个向量为 $\left( {1, 0, 0} \right)$，其他四个向量分别为 $\left( {{x_i}, {y_i}, {z_i}} \right)$，其中 $i = 1, 2, 3, 4$，则 ${x_i} < 0$，对于其他四个向量中任意两个向量的数量积，$$\left( {{x_i}, {y_i}, {z_i}} \right) \cdot \left( {{x_j}, {y_j}, {z_j}} \right) = {x_i}{x_j} + {y_i}{y_j} + {z_i}{z_j} < 0,$$于是 ${y_i}{y_j} + {z_i}{z_j} < 0$，也就是说这四个向量中的任意两个向量在 $yOz$ 平面上的投影夹角均为钝角，而这显然是不可能的．
综上，$n$ 的最大值为 $4$．
答案
解析
备注
