将 $1,2,\cdots ,4n$ 分成 $n$ 组，每组 $4$ 个数，满足每组中有一个数是另三个数的算术平均数，求所有可能的正整数 $n$．
【难度】
【出处】
2010年北京大学优秀中学生夏令营试题
【标注】
【答案】
$n\in\{ 2k \mid k\in\mathbb N^*\}$
【解析】
一方面，由于$$1+2+\cdots +4n=2n(4n+1)$$是 $4$ 的倍数，因此 $n$ 必须为偶数；
另一方面，考虑到 $1,2,\cdots ,8$ 可以分为$$(7,2,3,\underline{4}),(\underline{5},6,1,8),$$因此可以将 $4n$ 个数先按顺序每 $4$ 个连续的数分为一组，如$$(1,2,3,4),(5,6,7,8),\cdots ,(4n-3,4n-2,4n-1,4n),$$因为 $n$ 为偶数，所以将第 $2k-1$ 组中的 $8k-7$ 与第 $2k$ 组中的 $8k-1$ 交换即可，其中 $k=1,2,\cdots ,\dfrac n2$．
综上，$n$ 为任意正偶数．
另一方面，考虑到 $1,2,\cdots ,8$ 可以分为$$(7,2,3,\underline{4}),(\underline{5},6,1,8),$$因此可以将 $4n$ 个数先按顺序每 $4$ 个连续的数分为一组，如$$(1,2,3,4),(5,6,7,8),\cdots ,(4n-3,4n-2,4n-1,4n),$$因为 $n$ 为偶数，所以将第 $2k-1$ 组中的 $8k-7$ 与第 $2k$ 组中的 $8k-1$ 交换即可，其中 $k=1,2,\cdots ,\dfrac n2$．
综上，$n$ 为任意正偶数．
答案
解析
备注
