$n$ 个球队打单循环赛，第 $i$ 支球队的胜场数为 $x_i$，负场数为 $y_i$，已知 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n{x_i^3}=\sum\limits_{i=1}^{n}{y_i^3}$．求证：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n{x_i^4}=\sum\limits_{i=1}^n{y_i^4}$．
【难度】
【出处】
2012年北京大学优秀中学生夏令营试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据单循环赛的规则，有 $x_i+y_i=n-1$（$i=1,2,\cdots ,n$），并且$$\sum_{i=1}^n{x_i}=\sum_{i=1}^n{y_i}=\dfrac{n(n-1)}2.$$记 $k=n-1$，则 $y_i=k-x_i$（$i=1,2,\cdots ,n$），所以\[\begin{split} \sum_{i=1}^n{x_i^2}-\sum_{i=1}^n{y_i^2}&=\sum_{i=1}^n\left[(k-y_i)^2-(k-x_i)^2\right]\\ &=\sum_{i=1}^n\left[2k(x_i-y_i)+(y_i^2-x_i^2)\right]\\&=\sum_{i=1}^ny_i^2-\sum_{i=1}^nx_i^2,\end{split}\]因此 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n{x_i^2}=\sum\limits_{i=1}^n{y_i^2}$．
类似地，可以证明$$\sum\limits_{i=1}^n{\left(x_i^4-y_i^4\right)}=\sum\limits_{i=1}^n{y_i^4}-\sum\limits_{i=1}^n{x_i^4},$$因此原命题得证．
类似地，可以证明$$\sum\limits_{i=1}^n{\left(x_i^4-y_i^4\right)}=\sum\limits_{i=1}^n{y_i^4}-\sum\limits_{i=1}^n{x_i^4},$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
