长为 $L$ 的木棒（$L$ 为整数）可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最长者长度严格小于最短者长度的两倍．例如长为 $4$ 的木棒可以锯成 $2+2$ 的两段，而长为 $7$ 的木棒第一次可以锯成 $4+3$ 的两段，第二次可以锯成 $3+2+2$ 的两段，此时这三段无法再锯．问：长为 $30$ 的木棒至多可以锯成多少段？
【难度】
【出处】
2010年清华大学自主招生特色测试数学试题
【标注】
【答案】
$6$ 段
【解析】
我们可以把锯的过程反过来看成拼接，若最短者出现了三个或三个以上，那么无论如何拼接，都会出现某段木棒长度超过最短者两倍的情况．
因此按这种锯法，任何时刻长度最短的木棒最多只有两段．
情形一 按拼接的想法，长为 $30$ 的木棒可以锯成 $6$ 段：$$4+4+5+5+6+6=5+5+6+6+8=6+6+8+10=8+10+12=18+12=30.$$情形二 若长为 $30$ 的木棒可以锯成 $7$ 段以上，那么一定可以锯成 $7$ 段．接下来证明长为 $30$ 的木棒无法锯成 $7$ 段，用反证法：
如果可以锯成 $7$ 段，其中最短者长度设为 $x$，那么最长者的长度最大为 $2x-1$，于是$$2x+5(x+1)<30<2x+5(2x-1),$$即$$\dfrac {35}{12}<x<\dfrac {25}7,$$$x$ 只能取 $3$．
因此这 $7$ 段的长度只可能为 $3,3,4,5,5,5,5$，为了符合规则，只能拼成 $4,5,5,5,5,6$，进而 $5,5,5,6,9$，与“长度最短的木棒最多只有两段”矛盾．
综合以上两种情形，长为 $30$ 的木棒至多可以锯成 $6$ 段．
因此按这种锯法，任何时刻长度最短的木棒最多只有两段．
如果可以锯成 $7$ 段，其中最短者长度设为 $x$，那么最长者的长度最大为 $2x-1$，于是$$2x+5(x+1)<30<2x+5(2x-1),$$即$$\dfrac {35}{12}<x<\dfrac {25}7,$$$x$ 只能取 $3$．
因此这 $7$ 段的长度只可能为 $3,3,4,5,5,5,5$，为了符合规则，只能拼成 $4,5,5,5,5,6$，进而 $5,5,5,6,9$，与“长度最短的木棒最多只有两段”矛盾．
综合以上两种情形，长为 $30$ 的木棒至多可以锯成 $6$ 段．
答案
解析
备注
