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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
22849 595c5a30866eeb0008b1db5f 高中 解答题 高中习题 定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(2+x)=f(2-x)$，当 $x\in [0,2]$ 时，$f(x)=-4x^2+8x$．若在区间 $[a,b]$ 上，存在 $m$（$m\geqslant 3$）个不同的整数 $x_i$（$i=1,2,\cdots,m$）满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^{m-1}{\left|f(x_i)-f(x_{i+1})\right|}\geqslant 72$，求 $b-a$ 的最小值． 2022-04-17 20:12:22
22845 595c5c3c866eeb0008b1db72 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\begin{cases}(2-[x])\cdot |x-1|,& x\in[0,2),\\ 1,&x=2,\end{cases}$ 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．设 $n\in\mathbb N^*$，$f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$，指出以下说法中哪些是正确的，并说明理由． 2022-04-17 20:10:22
22807 592e31d6eab1df00082572a7 高中 解答题 高中习题 已知数集 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}(0\leqslant a_1<a_2<\cdots<a_n,n\geqslant3)$ 具有性质 $P$：对任意的 $i,j(1\leqslant i\leqslant j\leqslant n)$，$a_i+a_j$ 与 $a_j-a_i$ 两数中至少有一个属于 $A$． 2022-04-17 20:47:21
22704 59ba35d398483e0009c73134 高中 解答题 高中习题 甲乙两人在沙滩上玩鹅卵石游戏，现有 $15$ 块鹅卵石，甲乙两人轮流从石堆中拿出鹅卵石，每次每人拿的石块数只能是 $1,2$ 或 $3$，直到鹅卵石全部拿完游戏结束．如果当游戏结束时，总共拿到奇数个鹅卵石的人获胜，请问是否有必胜策略． 2022-04-17 20:46:20
22614 59ba35d398483e0009c7318e 高中 解答题 高中习题 设数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\},\{d_n\}$ 满足 $a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$，对任意正整数 $n$，均有\[\begin{split}
a_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|c_n-d_n\right|,\\
d_{n+1}&=\left|d_n-a_n\right|
,\end{split}\]求证：对任意正整数 $a,b,c,d$，均存在正整数 $m$，使得 $a_m=b_m=c_m=d_m=0$．		 2022-04-17 20:52:19
22494 5927885174a309000798cdca 高中 解答题 高考真题 对于数列 $A:{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}$，若满足 ${a_i} \in \left\{ {0,1} \right\}\left( {i = 1,2,3, \cdots ,n} \right)$，则称数列 $A$ 为“$0 - 1$ 数列”．定义变换 $T$，$T$ 将“$0 - 1$ 数列”$A$ 中原有的每个 $1$ 都变成 $0$，$1$，原有的每个 $0$ 都变成 $1$，$0$．例如 $A:1,0,1$，则 $T\left(A\right):0,1,1,0,0,1$ 设 ${A_0}$ 是“$0 - 1$ 数列”，令 ${A_k} = T\left( {{A_{k - 1}}} \right), k = 1,2,3, \cdots $． 2022-04-17 20:44:18
22493 5927894474a309000ad0ce76 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，若存在 $x^{*}\in(0,1)$ 使得 $f(x)$ 在 $[0,x^{*}]$ 上单调递增，在 $[x^{*},1]$ 上单调递减，则称 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单峰函数，$x^{*}$ 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的 $[0,1]$ 上的单峰函数 $f(x)$，下面研究缩短其含峰区间长度的方法． 2022-04-17 20:43:18
22492 592789c974a309000ad0ce7a 高中 解答题 高中习题 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1},a_{2}$ 是正整数，且 $a_{n}=\left|a_{n-1}-a_{n-2}\right|$，$n=3,4,5,\cdots$，则称 $\{a_{n}\}$ 为“绝对差数列”． 2022-04-17 20:43:18
22491 59278a4674a309000813f66f 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}\}(k\geqslant 2)$，其中 $a_{i}\in\mathbb Z(i=1,2,\cdots,k)$，由 $A$ 中的元素构成两个相应的集合：\[S=\{(a,b)\mid a\in A,b\in A,a+b\in A\}, T=\left\{(a,b)\mid a\in A,b\in A,a-b\in A\right\}.\]其中 $(a,b)$ 是有序数对，集合 $S$ 和 $T$ 中的元素个数分别为 $m,n$．若对于任意的 $a\in A$，总有 $-a\not \in A$，则称集合 $A$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 20:42:18
22490 59278a8674a309000997fbfd 高中 解答题 高中习题 对于每项均是正整数的数列 $A$：$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，定义变换 $T_{1}$，$T_{1}$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T_{1}(A)$：$n,a_{1}-1,a_{2}-1,\cdots,a_{n}-1$．对于每项均是非负整数的数列 $B:b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}$，定义变换 $T_{2}$，$T_{2}$ 将数列 $B$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2}(B)$；又定义\[S(B)=2(b_{1}+2b_{2}+\cdots+mb_{m})+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{m}^{2}.\]设 $A_{0}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $A_{k+1}=T_{2}\left(T_{1}(A_{k})\right)(k=0,1,2,\cdots)$． 2022-04-17 20:42:18
22489 59278cac74a309000ad0ce7e 高中 解答题 高考真题 对于正整数 $a$，$b$，存在唯一一对整数 $q$ 和 $r$，使得 $a = bq + r$，其中 $0 \leqslant r < b$．特别地，当 $r = 0$ 时，称 $b$ 能整除 $a$，记作 $b\mid a$．已知 $A = \left\{ {1,2,3, \cdots ,23} \right\}$． 2022-04-17 20:41:18
22487 59278d4874a309000997fc03 高中 解答题 高考真题 用 $[a]$ 表示不大于 $a$ 的最大整数．令集合 $P=\{1,2,3,4,5\}$，对任意 $k\in P$ 和 $m\in \mathbb N^+$，定义 $\displaystyle f(m,k)=\sum\limits_{i=1}^{5}\left[m\sqrt{\dfrac{k+1}{i+1}}\right]$，集合 $A=\{m\sqrt{k+1}\mid m\in {\mathbb N^+},k\in P\}$，并将集合 $A$ 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列 $\{a_n\}$． 2022-04-17 20:40:18
22485 59278e7874a309000ad0ce88 高中 解答题 高考真题 对于定义域分别为 $M,N$ 的函数 $y=f(x),y=g(x)$，规定：
函数 $h(x)=\begin{cases}f(x)g(x),x\in M\cap N\\ f(x),x\in M\cap \complement_{\mathbb R}N\\ g(x),x\in N\cap \complement_{\mathbb R}M\end{cases}$．		 2022-04-17 20:39:18
22472 59bbd5208b403a0008ec5edb 高中 解答题 高中习题 如果存在 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它们的和与乘积相等（$n=1$ 时它们的和与积就是自身），即\[a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n,\]则称 $n$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 20:32:18
22328 59bbd59b8b403a0008ec5f74 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A(n)=\left\{k\mid 1\leqslant k\leqslant \dfrac{3^n-1}{2},k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$（$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$）．若存在非空集合 $S_1,S_2,\cdots,S_n$，使得 $A(n)=S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n$，且 $S_i\cap S_j=\varnothing $（$1\leqslant i<j\leqslant n$），并对任意 $x,y\in S_i$（$i=1,2,\cdots,n$），$x>y$，都有 $x-y\notin S_i$，则称集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，$S_i$（$i=1,2,\cdots,n$）称为集合 $A(n)$ 的 $P$ 子集． 2022-04-17 20:15:17
22241 59cb97861d3b200007f98ea9 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$|a_{n+1}-a_n|=p^n$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和． 2022-04-17 20:25:16
21921 5a4b48ea34d6f9000837b8e2 高中 解答题 自招竞赛 设有 $n$ 人，任意两人在其他 $n-2$ 人中都至少有 $2016$ 位共同的朋友，朋友关系是相互的．求所有 $n$，使得在满足以上条件的任何情形下都存在 $5$ 人彼此是朋友． 2022-04-17 20:25:13
21825 595c51ab866eeb000bce0e3c 高中 解答题 高中习题 已知正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $\forall n\in\mathbb N^{\ast}$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，且 $a_k=2017$，求 $k$ 的最大值． 2022-04-17 20:35:12
21824 595c5ef3866eeb000914b666 高中 解答题 高中习题 黑板写有 $1,2,4,8,\cdots,2^{99}$ 这 $100$ 个数，甲乙两人轮流对黑板上的数进行操作（甲先），每次将其中的 $3$ 个数减 $1$．如果某次操作后黑板上出现了负数，就算输，对方获胜．问：甲有获胜的策略吗？如何操作． 2022-04-17 20:35:12
21823 595c6227866eeb0008b1db87 高中 解答题 高中习题 试在 $m\times n$ 的矩形表中填入 $m\cdot n$ 个数，使得每一行每一列的平方和都是平方数． 2022-04-17 20:34:12
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