题目 已知函数 $f(x)=\begin{cases}(2-[x])\cdot |x-1|,& x\in[0,2),\\ 1,&x=2,\end{cases}$ 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．设 $n\in\mathbb N^*$，$f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$，指出以下说法中哪些是正确的，并说明理由． 问题1 函数 $y=\sqrt{x-f(x)}$ 的定义域为 $\left[\dfrac 23,2\right]$； 答案1 正确 解析1 如图．<img src="/static/images/e8dbb89069441fd2e8184058a2033e09.png" class="img-responsive" /> 备注1 问题2 设集合 $A=\{0,1,2\}$，$B=\{x \mid f_3(x)=x,x\in A\}$，则 $A=B$； 答案2 正确 解析2 初值为 $0$ 的迭代序列为 $0,2,1,0,2,1,\cdots$<br/>所以$$f_3(0)=0 , f_3(1)=1 , f_3(2)=2,$$故 $A=B$． 备注2 问题3 $f_{2016}\left(\dfrac 89\right)+f_{2017}\left(\dfrac 89\right)=\dfrac{13}9$； 答案3 错误 解析3 考虑到初值为 $\dfrac 89$ 的迭代序列为\[\dfrac 89,\dfrac 29,\dfrac {14}9,\dfrac 59,\dfrac 89,\cdots\]于是所求\[f_{2016}\left(\dfrac 89\right)+f_{2017}\left(\dfrac 89\right)=\dfrac 89+\dfrac 29=\dfrac {10}9\ne \dfrac{13}9.\] 备注3 问题4 若集合 $M=\{x \mid f_{12}(x)=x,x\in [0,2]\}$，则 $M$ 中至少包含 $8$ 个元素． 答案4 正确 解析4 由 $(1)$ $(2)$ $(3)$ 可得\[\dfrac 23,0,1,2,\dfrac 89,\dfrac 29,\dfrac{14}9,\dfrac 59\in M.\] 备注4 事实上，任何分数作为初值的迭代序列都会进入循环，如\[\begin{aligned}\dfrac 13,\dfrac 43,\dfrac 13,\cdots\\<br/>\dfrac 15,\dfrac 85,\dfrac 35,\dfrac 45,\dfrac 25,\dfrac 65,\dfrac 15,\cdots \\<br/>\dfrac 27,\dfrac {10}7,\dfrac 37,\dfrac 87,\dfrac 17,\dfrac{12}7,\dfrac 57,\dfrac 47,\dfrac 67,\dfrac 27,\cdots<br/>\end{aligned}\]每日一题[838]函数迭代．