黑板写有 $1,2,4,8,\cdots,2^{99}$ 这 $100$ 个数，甲乙两人轮流对黑板上的数进行操作（甲先），每次将其中的 $3$ 个数减 $1$．如果某次操作后黑板上出现了负数，就算输，对方获胜．问：甲有获胜的策略吗？如何操作．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
有；只需要第一次操作 $1,2^{98},2^{99}$，之后每次都操作乙刚操作的数
【解析】
甲有获胜的策略，只需要第一次操作 $1,2^{98},2^{99}$，之后每次都操作乙刚操作的数即可，证明如下．
记这 $100$ 个数分别为 $x_i$（$i=1,2,\cdots,100$），它们的初值分别为 $1,2,4,8,\cdots,2^{99}$，和是 $2^{100}-1$．
因为\[1+2+\cdots+2^{97}<2^{98}<2^{99},\]所以无论如何操作，结束时 $x_{99}$ 和 $x_{100}$ 必然均非负数（否则对 $x_1,x_2,\cdots,x_{98}$ 的操作次数大于 $2^{98}$，而至多操作 $2^{98}$ 次，在 $x_1,x_2,\cdots,x_{98}$ 中就出现负数了）．
这样甲操作完第一次之后，除了最后两个数，其他的各个数都是偶数，所以乙操作后甲必然可以执行相同的操作，并且在这样一次“镜像”操作后仍然处于“除了最后两个数，其他的各个数都是偶数”的状态．经过有限次“镜像”操作后，留给乙的必然为 $x_i=0$（$i=1,2,\cdots,98$）以及 $x_{99},x_{100}$，此时乙失败，甲获胜．
记这 $100$ 个数分别为 $x_i$（$i=1,2,\cdots,100$），它们的初值分别为 $1,2,4,8,\cdots,2^{99}$，和是 $2^{100}-1$．
因为\[1+2+\cdots+2^{97}<2^{98}<2^{99},\]所以无论如何操作，结束时 $x_{99}$ 和 $x_{100}$ 必然均非负数（否则对 $x_1,x_2,\cdots,x_{98}$ 的操作次数大于 $2^{98}$，而至多操作 $2^{98}$ 次，在 $x_1,x_2,\cdots,x_{98}$ 中就出现负数了）．
这样甲操作完第一次之后，除了最后两个数，其他的各个数都是偶数，所以乙操作后甲必然可以执行相同的操作，并且在这样一次“镜像”操作后仍然处于“除了最后两个数，其他的各个数都是偶数”的状态．经过有限次“镜像”操作后，留给乙的必然为 $x_i=0$（$i=1,2,\cdots,98$）以及 $x_{99},x_{100}$，此时乙失败，甲获胜．
答案
解析
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