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甲乙两人在沙滩上玩鹅卵石游戏，现有 $15$ 块鹅卵石，甲乙两人轮流从石堆中拿出鹅卵石，每次每人拿的石块数只能是 $1,2$ 或 $3$，直到鹅卵石全部拿完游戏结束．如果当游戏结束时，总共拿到奇数个鹅卵石的人获胜，请问是否有必胜策略．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    组合数学
    >
    策略问题
  • 题型
    >
    组合数学
    >
    组合证明
【答案】
先手有必胜策略，先拿 $2$ 块
【解析】
设共有 $n$ 块鹅卵石，先考虑简单情形．
当 $n=4$ 时，先手拿 $3$ 块，必然能拿到奇数块鹅卵石；后手必然能拿到奇数块鹅卵石．
当 $n=5$ 时，先手拿 $1$ 块，必然能拿到偶数块鹅卵石；后手必然能拿到奇数块鹅卵石．
当 $n=6$ 时，先手若拿 $1$ 块，就转化成了 $n=5$ 时的后手，必然能拿到偶数块鹅卵石；先手若拿 $2$ 块，就转化成了 $n=4$ 时的后手，必然能拿到奇数块鹅卵石；此时后手没有任何保证拿到奇数块鹅卵石或偶数块鹅卵石的策略（任人宰割）．
当 $n=7$ 时，先手若拿 $1$ 块，就转化成了 $n=6$ 的后手，任人宰割；先手若拿 $2$ 块，就转化成了 $n=5$ 时的后手，必然能拿到奇数块鹅卵石；先手若拿 $3$ 块，就转化成了 $n=4$ 时的后手，必然能拿到偶数块鹅卵石；此时后手任人宰割；
依次类推，可得下表．\[\begin{matrix}
n & \text{先手} & \text{后手}\\ \hline
4 & \text{拿 }3\text{ 必得奇数} & \text{必得奇数} \\
5 & \text{拿 }1\text{ 必得偶数} & \text{必得奇数} \\
6 & \text{拿 }1\text{ 必得偶数},\text{拿 }2\text{ 必得奇数}& \text{任人宰割} \\
7 & \text{拿 }2\text{ 必得奇数},\text{拿 }3\text{ 必得偶数} & \text{任人宰割}\\
8 & \text{拿 }3\text{ 必得偶数} & \text{必得偶数} \\
9 & \text{拿 }1\text{ 必得奇数} & \text{必得偶数} \\
10 & \text{拿 }1\text{ 必得奇数},\text{拿 }2\text{ 必得偶数} & \text{任人宰割}\\
11 & \text{拿 }2\text{ 必得偶数},\text{拿 }3\text{ 必得奇数}& \text{任人宰割}\\
12 & \text{拿 }3\text{ 必得奇数} & \text{必得奇数} \\
13 & \text{拿 }1\text{ 必得偶数} & \text{必得奇数} \\
14 & \text{拿 }1\text{ 必得偶数},\text{拿 }2\text{ 必得奇数} & \text{任人宰割}\\
15 & \text{拿 }2\text{ 必得奇数},\text{拿 }3\text{ 必得偶数} & \text{任人宰割}\\
\end{matrix}\]因此先手有必胜策略，先拿 $2$ 块．
答案 解析 备注
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