题目 已知数集 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}(0\leqslant a_1<a_2<\cdots<a_n,n\geqslant3)$ 具有性质 $P$：对任意的 $i,j(1\leqslant i\leqslant j\leqslant n)$，$a_i+a_j$ 与 $a_j-a_i$ 两数中至少有一个属于 $A$． 问题1 分别判断数集 $\{0,1,3\}$ 与 $\{0,2,4,6\}$ 是否具有性质 $P$，说明理由； 答案1 $\{0,1,3\}$ 不具有性质 $P$；$\{0,2,4,6\}$ 具有性质 $P$ 解析1 $\{0,1,3\}$ 不具有性质 $P$；$\{0,2,4,6\}$ 具有性质 $P$． 备注1 问题2 求证：$a_2+a_3+\cdots+a_n=\dfrac{n}{2}a_n$； 答案2 略 解析2 根据题意，$$a_n+a_n>a_n+a_{n-1}>\cdots>a_n+a_1\geqslant a_n,$$所以 $a_i+a_n$ 均不在 $A$ 中，其中 $i=2,3,4,\cdots,n$，所以$$a_n-a_n,a_n-a_{n-1},\cdots,a_n-a_2$$均在 $A$ 中，进而得到 $a_1=0$，且$$a_n-a_n=a_1,a_n-a_{n-1}=a_2,\cdots,a_n-a_1=a_n\qquad\cdots\text{ ① }$$即$$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\cdots=a_n+a_1=a_n,$$从而原命题得证． 备注2 问题3 已知数集 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}(0\leqslant a_1<a_2<\cdots<a_n,n\geqslant3)$ 具有性质 $P$，请探究 $n$ 为何值时，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 一定组成等差数列． 答案3 $n=3$ 或 $n\geqslant5$ 解析3 <case>情形一</case> $n=3$ 时，因为 $a_1=0$，所以必有 $a_3=2a_2$，故 $a_1,a_2,a_3$ 组成等差数列；<br/><case>情形二</case> $n=4$ 时，如 $\{0,2,3,5\}$，不一定组成等差数列；<br/><case>情形三</case> $n\geqslant5$ 时，$a_1=0$，与 $(2)$ 类似，$$a_{n-1}+a_{n-1}>a_{n-1}+a_{n-2}>\cdots>a_{n-1}+a_2=a_n,$$于是$$a_{n-1}-a_{n-1}<a_{n-1}-a_{n-2}<\cdots<a_{n-1}-a_1<a_n$$且这些数均在 $A$ 中．<br/>因此，$$a_{n-1}-a_{n-1}=a_1,a_{n-1}-a_{n-2}=a_2,\cdots,a_{n-1}-a_1=a_{n-1},a_n=a_n\qquad\cdots\text{ ② }$$综合 ①②，有$$a_n-a_{n-1}=a_{n-1}-a_{n-2},a_n-a_{n-2}=a_{n-1}-a_{n-3},\cdots,a_{n}-a_2=a_{n-1}-a_1,$$即$$a_n-a_{n-1}=a_{n-1}-a_{n-2}=\cdots=a_2-a_1,$$因此 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为等差数列． 备注3 单独证 $a_{n-1}-a_2\in A$ 即可：<br/>因为 $a_{n-1}+a_{n-2}>a_{n-1}+a_2=a_n$，所以 $a_{n-1}-a_{n-2}\in A$．<br/>另一方面，$a_1<a_{n-1}-a_{n-2}<a_n-a_{n-2}=a_3$，所以 $a_{n-1}-a_{n-2}=a_2$，从而 $a_{n-1}-a_2=a_{n-2}\in A$．