试在 $m\times n$ 的矩形表中填入 $m\cdot n$ 个数，使得每一行每一列的平方和都是平方数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
从 $3^2+4^2=5^2$ 出发，利用\[n^2+\left(\dfrac{n^2-1}2\right)^2=\left(\dfrac{n^2+1}2\right)^2,\]其中 $n$ 是奇数，可得序列\[3,4,12,84,3612,\cdots,\]其递推公式为 $a_1=3$，$a_2=4$，且\[a_{n+1}=\dfrac {\left(a_n+1\right)^2-1}2=\dfrac{a_n(a_n+2)}2,n\geqslant 2,n\in\mathbb N^{\ast}.\]这个数列的前 $n$（$n\geqslant 2$）项的平方和\[a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=(a_n+1)^2,\]为平方数．
利用这个数列可以构造满足题意的矩阵\[\begin{matrix}
a_1a_1 & a_1a_2 & a_1a_3 & \cdots & a_1a_n \\
a_2a_1 & a_2a_2 & a_2a_3 & \cdots & a_2a_n \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\
a_ma_1 & a_ma_2 & a_ma_3 & \cdots &a_ma_n
\end{matrix}\]其中第 $i$ 行的平方和为 $a_i^2(a_n+1)^2$，第 $j$ 列的平方和为 $(a_m+1)^2a_j^2$，均为平方数．
利用这个数列可以构造满足题意的矩阵\[\begin{matrix}
a_1a_1 & a_1a_2 & a_1a_3 & \cdots & a_1a_n \\
a_2a_1 & a_2a_2 & a_2a_3 & \cdots & a_2a_n \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\
a_ma_1 & a_ma_2 & a_ma_3 & \cdots &a_ma_n
\end{matrix}\]其中第 $i$ 行的平方和为 $a_i^2(a_n+1)^2$，第 $j$ 列的平方和为 $(a_m+1)^2a_j^2$，均为平方数．
答案
解析
备注
