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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27396 590a9a916cddca0008610dad 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长，求证：$$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geqslant 0.$$ 2022-04-17 21:49:03
27394 590aa10a6cddca0008610dc1 高中 解答题 高中习题 已知 $n$（$n\geqslant 2$）个实数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 满足 $a_1+a_2+\cdots +a_n=0$，$|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|=1$，求证：$$|a_1+2a_2+\cdots +na_n|\leqslant \dfrac {n-1}2.$$ 2022-04-17 21:48:03
27391 590aa2f96cddca00092f6f3f 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z>0$，且 $x+y+z=1$，求证：$$\dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\dfrac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2.$$ 2022-04-17 21:47:03
27389 590aa3d16cddca00078f38c8 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=2$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{bc}{1+abc(a+b)}\leqslant 1$． 2022-04-17 21:46:03
27388 590aa3ed6cddca000a08193b 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z>0$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{z\left(z^2-y^2\right)}{x+y}\geqslant 0$． 2022-04-17 21:45:03
27387 590aa4056cddca00078f38cb 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z$ 是正实数，证明：$x^2+xy^2+xyz^2\geqslant 4xyz-4$． 2022-04-17 21:44:03
27385 590aa5586cddca000a08194c 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{k+2}{(2k+1)(2k+3)\cdot 3^{k-1}}<\dfrac 14$． 2022-04-17 21:42:03
27383 590aa5d46cddca0008610dea 高中 解答题 高中习题 若 $a,b,c,d>0$，求证：$\dfrac{a^2-bd}{b+2c+d}+\dfrac{b^2-ca}{c+2d+a}+\dfrac{c^2-db}{d+2a+b}+\dfrac{d^2-ac}{a+2b+c}\geqslant 0$． 2022-04-17 21:41:03
27382 590aa5f46cddca000a081953 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 用弧度制度量，$a,b,c$ 是角 $A,B,C$ 的对边，求证：$$\dfrac{\pi}3\leqslant \dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}<\dfrac{\pi}2.$$ 2022-04-17 21:41:03
27380 590aa6bc6cddca0008610def 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{{a_n}\right\}$ 满足 $\dfrac{1}{3}{a_n}\leqslant{a_{n + 1}}\leqslant 3{a_n}$，$n \in{{\mathbb{N}}^*}$，${a_1}= 1$． 2022-04-17 21:40:03
27379 590aa6f86cddca00078f38f0 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y\in (0,1)$，$n\in\mathbb N^*$，求证：$\dfrac{x^n}{1-x^2}+\dfrac{y^n}{1-y^2}\geqslant \dfrac{x^n+y^n}{1-xy}$． 2022-04-17 21:40:03
27375 590ac1166cddca000a08198b 高中 解答题 高考真题 已知 $\{a_n\}$ 为递增数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1>1$，且 $10S_n=\left(2a_n+1\right)\left(a_n+2\right)$，$n\in\mathbb N^*$． 2022-04-17 21:36:03
27373 590ac2196cddca00092f6f9e 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{a^2}{b}\geqslant\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}$． 2022-04-17 21:35:03
27372 590ac2356cddca0008610e2e 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，$abc=1$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{1}{a^3(b+c)}\geqslant \dfrac 12\sum_{cyc}\dfrac 1a$． 2022-04-17 21:34:03
27371 590ac2566cddca0008610e32 高中 解答题 高中习题 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=abc$，求证：$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leqslant \dfrac 32$． 2022-04-17 21:34:03
27370 590ac2756cddca000a08199e 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c,d>0$，且 $a+b+c+d=4$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{a+1}{b^2+1}\geqslant 4$． 2022-04-17 21:34:03
27367 590ac4b66cddca0008610e4c 高中 解答题 自招竞赛 若实数 $a,b,c$ 满足 $2^a+4^b=2^c$，$4^a+2^b=4^c$，求 $c$ 的最小值． 2022-04-17 21:33:03
27365 590ac5a76cddca00092f6fbf 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant 2$）是实数，证明：可以选取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}$，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\] 2022-04-17 21:32:03
27362 590ac7246cddca00092f6fc9 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z\geqslant 0$，且 $x+y+z=1$，求证：$0\leqslant xy+yz+zx-2xyz\leqslant \dfrac{7}{27}$． 2022-04-17 21:30:03
27361 590ac7486cddca0008610e60 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，求证：$\displaystyle \dfrac{a^2b(b-c)}{a+b}+\dfrac{b^2c(c-a)}{b+c}+\dfrac{c^2a(a-b)}{c+a}\geqslant 0$． 2022-04-17 21:29:03
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