在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 用弧度制度量，$a,b,c$ 是角 $A,B,C$ 的对边，求证：$$\dfrac{\pi}3\leqslant \dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}<\dfrac{\pi}2.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则 $A\leqslant B\leqslant C$，由切比雪夫不等式（或多次使用排序不等式），有$$aA+bB+cC\geqslant \dfrac 13(a+b+c)(A+B+C),$$于是左边不等式得证．又\begin{eqnarray*}\begin{split} (a+b+c)(A+B+C)&=(a+b+c)A+(a+b+c)B+(a+b+c)C\\ &>2aA+2bB+2cC,\end{split} \end{eqnarray*}于是右边不等式得证．综上，原命题得证．
答案
解析
备注
