已知 $a,b,c>0$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{a^2}{b}\geqslant\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由权方和不等式，有$$LHS=\sum_{cyc}\dfrac{\left(a^2\right)^{\frac 32}}{\left(a^2b^2\right)^{\frac 12}}\geqslant \dfrac{\left(\sum_{cyc}a^2\right)^{\frac 32}}{\sqrt{\sum_{cyc}a^2b^2}},$$于是只需要证明$$\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\geqslant 3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right),$$即$$a^4+b^4+c^4\geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2,$$这显然成立，因此原命题得证．
答案
解析
备注
