已知 $x,y,z$ 是正实数，证明：$x^2+xy^2+xyz^2\geqslant 4xyz-4$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们证明一个更强的命题，原不等式对 $z\in\mathbb R$ 都成立，即对任意实数 $z$，均有$$xyz^2-4xyz+x^2+xy^2+4\geqslant 0,$$等价于$$\Delta_1=16x^2y^2-4xy\left(x^2+xy^2+4\right)\leqslant 0,$$也即$$xy^2-4xy+x^2+4\geqslant 0.$$接下来我们证明上述不等式对 $y\in\mathbb R$ 成立，等价于$$\Delta_2=16x^2-4x\left(x^2+4\right)\leqslant 0,$$也即$$x^2+4\geqslant 4x,$$这显然成立．这就证明任意 $x,y>0$，$z\in\mathbb R$，均有$$x^2+xy^2+xyz^2\geqslant 4xyz-4.$$
答案
解析
备注
