设 $x,y,z\geqslant 0$，且 $x+y+z=1$，求证：$0\leqslant xy+yz+zx-2xyz\leqslant \dfrac{7}{27}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $x\leqslant y\leqslant z$，则 $0\leqslant x\leqslant \dfrac 13$．此时$$xy+yz+zx-2xyz=x(y+z)+yz(1-2x)\geqslant 0,$$于是左边不等式成立．而\[\begin{split} x(y+z)+yz(1-2x)&\leqslant x(1-x)+\dfrac 14(1-x)^2(1-2x)\\
&=-\dfrac 12x^3+\dfrac 14x^2+\dfrac 14\\
&=\dfrac 14x^2(1-2x)+\dfrac14\\
&\leqslant \dfrac{7}{27}
,\end{split}\]于是右边不等式成立．
综上所述，原命题得证．
&=-\dfrac 12x^3+\dfrac 14x^2+\dfrac 14\\
&=\dfrac 14x^2(1-2x)+\dfrac14\\
&\leqslant \dfrac{7}{27}
,\end{split}\]于是右边不等式成立．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
