设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant 2$）是实数，证明：可以选取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}$，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\]
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们证明$$\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2+\left(\sum_{i=1}^ma_i-\sum_{i=m+1}^na_i\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right),$$其中 $m=\left[\dfrac n2\right]$，即\[\varepsilon_i=\begin{cases}1,&i=1,2,\cdots,m,\\-1,&i=m+1,m+2,\cdots,n.\end{cases}\]事实上，上述不等式的左边为\[\begin{split}&\quad\left(\sum_{i=1}^ma_i+\sum_{j=m+1}^na_j\right)^2+\left(\sum_{i=1}^ma_i-\sum_{j=m+1}^na_j\right)^2\\&=2\left(\sum_{i=1}^ma_i\right)^2+2\left(\sum_{j=m+1}^na_j\right)^2\\&\leqslant 2m\sum_{i=1}^ma_i^2+2(n-m)\sum_{j=m+1}^na_j^2\\&=2\left[\dfrac n2\right]\sum_{i=1}^ma_i^2+2\left[\dfrac{n+1}2\right]\sum_{j=m+1}^na_j^2\\&\leqslant n\sum_{i=1}^ma_i^2+(n+1)\sum_{j=m+1}^na_j^2\\&\leqslant (n+1)\sum_{i=1}^na_i^2,\end{split}\]其中第三行用到了柯西不等式．从而不等式得证，原题得证．
答案
解析
备注
