已知 $a,b,c>0$，$abc=1$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{1}{a^3(b+c)}\geqslant \dfrac 12\sum_{cyc}\dfrac 1a$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式，有$$LHS=\sum_{cyc}\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{a(b+c)}\geqslant \dfrac{\left(\sum_{cyc}\dfrac 1a\right)^2}{\sum_{cyc}\left[a(b+c)\right]}=RHS,$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
