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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27190 590c27bc857b4200085f8596 高中 解答题 高中习题 求证：任取四个不同的正整数，一定可以用 $24$ 点的规则（用四则运算符号和括号连接这四个数）算出一个 $24$ 的倍数． 2022-04-17 21:57:01
26754 59681b230303980008983dad 高中 解答题 自招竞赛 正五边形 $ABCDE$ 的对角线 $BE$ 分别与对角线 $AD$，$AC$ 交于点 $F$，$G$，对角线 $BD$ 分别与对角线 $CA$，$CE$ 交于点 $H$，$I$，对角线 $CE$ 与对角线 $AD$ 交于点 $J$，设由图中 $10$ 个点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$G$，$H$，$I$，$J$ 和线段构成的等腰三角形的集合为 $M$． 2022-04-17 20:53:57
26599 5961010e3cafba0009670bb2 高中 解答题 高中习题 对于任意一个大于 $7$ 的素数 $p$，求证：$p$ 的倍数中存在“所有数位上的数都是 $1$”的数．（例如：$13\times 8547=111111,17\times 65359477124183=1111111111111111.$） 2022-04-17 20:31:56
25359 590c212d857b4200085f8541 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A = \left\{ {x \in {\mathbb{Z}}\mid x \geqslant 10} \right\}$，$B$ 是 $A$ 的子集，且 $B$ 中的元素满足：
① 各个数字互不相同；
② 任意两个数字之和不等于 $9$．		 2022-04-17 20:10:45
25288 59128ce7e020e7000a798bc7 高中 解答题 自招竞赛 一个平面，由红点和蓝点组成，而且既有红点也有蓝点．对于给定的任意长度 $a$（$a > 0$），证明： 2022-04-17 20:29:44
24551 59150d311edfe2000ade98eb 高中 解答题 高中习题 如果数列 $A:a_1,a_2,\cdots,a_m \left(m\in\mathbb{Z}, m\geqslant 3\right)$ 满足：
① 对任意 $i=1,2,\cdots,m$，都有 $a_i\in\mathbb{Z}$ 且 $-\dfrac{m}{2}\leqslant a_i\leqslant \dfrac{m}{2}$；
② $a_1+a_2+\cdots+a_m=1$，
那么称数列 $A$ 为“$\Omega$ 数列”．		 2022-04-17 20:46:37
16230 5ffbba62210b280319d00c45 高中 解答题 高中习题 任给5个整数，证明必能从中选出3个，使得他们的和能被 $3$ 整除． 2022-04-17 19:54:20
15682 590c14aad42ca7000a7e7e47 高中 解答题 自招竞赛 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论． 2022-04-17 19:58:15
15329 59a37072fc0b3d0009a8f754 高中 解答题 自招竞赛 已知 $3\times 7$ 个正方形格子组成的矩形中，每格涂蓝色或者红色，求证：必然存在一个由正方形格子组成的矩形，它的四个角对应的正方形格子是同色的． 2022-04-17 19:40:12
15285 5a4b48a234d6f9000837b8dc 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_1,x_2,\cdots,x_{100}\in [-1,1]$，求证：存在 $i\ne j$ 使得 $|x_ix_{j+1}-x_jx_{i+1}|<\dfrac{1}{12}$． 2022-04-17 19:18:12
15276 5a7093f29bb0f20008eafccc 高中 解答题 高中习题 设 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 是 $5$ 个正实数（可以相等），证明：一定存在 $4$ 个互不相同的下标 $i,j,k,l$，使得 $\left|\dfrac{a_i}{a_j}-\dfrac{a_k}{a_l}\right|<\dfrac 12$． 2022-04-17 19:13:12
15255 5c6a4e8f210b281db9f4c77b 高中 解答题 自招竞赛 一个数集的和是指它的所有元素之和．令 $S$ 是一些不超过15的正整数组成的集合，$S$ 的任意两个不相交的子集合的和不相等，并且在所有具有上述性质的集合中，$S$ 的和最大，求集合 $S$ 的和． 2022-04-17 19:02:12
6748 5975b0306b07450008983686 高中 填空题 自招竞赛 从前 $2008$ 个正整数构成的集合 $M=\{1,2,\cdots,2008\}$ 中取出一个 $k$ 元子集 $A$，使得 $A$ 中任意两数之和都不能被这两数之差整除，则 $k$ 的最大值为 ． 2022-04-16 21:54:49
757 590a9a416cddca00078f388c 高中 选择题 自招竞赛 设 $S$ 为有限集合，$A_1,A_2,\cdots,A_{2016}$ 为 $S$ 的子集，且对每个 $i$，都有 $\left|A_i\right|\geqslant \dfrac{1}{5}|S|$，其中 $|M|$ 表示集合 $M$ 中元素的个数．若一定有 $S$ 中的某个元素在至少 $k$ 个 $A_i$ 中出现，则 $k$ 的最大值为 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:10:00
738 590ad66a6cddca0008610f24 高中 选择题 自招竞赛 在不超过 $99$ 的正整数中选出 $50$ 个不同的正整数，已知这 $50$ 个数中任两个的和都不等于 $99$，也不等于 $100$．这 $50$ 个数的和可能等于 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:02:00
616 59b9dfdcb3e1920008f9698d 高中 选择题 自招竞赛 已知存在正整数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=407$，$10^n\mid abc$，则 $n$ 的最大值为 \((\qquad)\) 2022-04-15 19:51:58
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