从前 $2008$ 个正整数构成的集合 $M=\{1,2,\cdots,2008\}$ 中取出一个 $k$ 元子集 $A$，使得 $A$ 中任意两数之和都不能被这两数之差整除，则 $k$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$670$
【解析】
首先，我们可以取 $670$ 元子集$$A=\{1,4,7,\cdots,2008\},$$且 $A$ 中任两数之和不能被 $3$ 整除，而其差是 $3$ 的倍数．
其次，将 $M$ 中的数从小到大每三个数一段，共分为 $670$ 段：\[1,2,3,\mid 4,5,6, \mid 7,8,9,\mid \cdots ,\mid 2005,2006,2007,\mid 2008.\]从 $A$ 中任取 $671$ 个数，必有两数 $x,y$ 取自同一段，则$$|x-y|=1\lor 2.$$注意 $x-y$ 与 $x+y$ 同奇偶，于是$$(x-y)\mid (x+y).$$综上所述，$k$ 的最大值为 $670$．
其次，将 $M$ 中的数从小到大每三个数一段，共分为 $670$ 段：\[1,2,3,\mid 4,5,6, \mid 7,8,9,\mid \cdots ,\mid 2005,2006,2007,\mid 2008.\]从 $A$ 中任取 $671$ 个数，必有两数 $x,y$ 取自同一段，则$$|x-y|=1\lor 2.$$注意 $x-y$ 与 $x+y$ 同奇偶，于是$$(x-y)\mid (x+y).$$综上所述，$k$ 的最大值为 $670$．
题目
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