已知存在正整数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=407$，$10^n\mid abc$，则 $n$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学博雅计划数学试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
要使得符合题意的 $n$ 尽可能大，需要尽量从 $407$ 中拆出包含更多因数 $2$ 和 $5$ 的 $a,b,c$．当 $(a,b,c)=(32,125,250)$ 时，有\[abc=2^5\cdot 5^3\cdot \left(2\cdot 5^3\right),\]此时 $n=6$．下面证明 $n\leqslant 6$．
当 $n\geqslant 7$ 时，由于 $5\nmid 407$，于是 $a,b,c$ 中至少有一个数不是 $5$ 的倍数，根据抽屉原理，$a,b,c$ 中至少有一个数能够被 $5^4$ 整除．而\[5^4=625>407,\]不符合题意．因此 $n\leqslant 6$．
综上所述，$n$ 的最大值为 $6$．
当 $n\geqslant 7$ 时，由于 $5\nmid 407$，于是 $a,b,c$ 中至少有一个数不是 $5$ 的倍数，根据抽屉原理，$a,b,c$ 中至少有一个数能够被 $5^4$ 整除．而\[5^4=625>407,\]不符合题意．因此 $n\leqslant 6$．
综上所述，$n$ 的最大值为 $6$．
题目
答案
解析
备注
