设 $S$ 为有限集合，$A_1,A_2,\cdots,A_{2016}$ 为 $S$ 的子集，且对每个 $i$，都有 $\left|A_i\right|\geqslant \dfrac{1}{5}|S|$，其中 $|M|$ 表示集合 $M$ 中元素的个数．若一定有 $S$ 中的某个元素在至少 $k$ 个 $A_i$ 中出现，则 $k$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
取 $S=\{1,2,3,4,5\}$，\begin{align*}
A_{1}=A_{2}=\cdots=A_{403}&=\{1\},\\
A_{404}=A_{405}=\cdots=A_{806}&=\{2\},\\
A_{807}=A_{808}=\cdots=A_{1209}&=\{3\},\\
A_{1210}=A_{1211}=\cdots=A_{1612}&=\{4\},\\
A_{1613}=A_{1614}=\cdots=A_{2015}=A_{2016}&=\{5\},
\end{align*}可知\[k_{\max}\leqslant 404.\]若 $S$ 中的任意一个元素都在至多 $m (m \leqslant 403)$ 个 $A_i$ 中出现，则\[\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|A_i\right|\leqslant m|S|\leqslant 403|S|.\]另一方面，因为对每个 $i$，都有 $\left|A_i\right|\geqslant \dfrac{1}{5}|S|$，故\[
\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|A_i\right|\geqslant \dfrac{2016}{5}|S|>403|S|,
\]矛盾．所以\[k_{\max}\geqslant 404.\]综合以上知，$k_{\max}=404$．
A_{1}=A_{2}=\cdots=A_{403}&=\{1\},\\
A_{404}=A_{405}=\cdots=A_{806}&=\{2\},\\
A_{807}=A_{808}=\cdots=A_{1209}&=\{3\},\\
A_{1210}=A_{1211}=\cdots=A_{1612}&=\{4\},\\
A_{1613}=A_{1614}=\cdots=A_{2015}=A_{2016}&=\{5\},
\end{align*}可知\[k_{\max}\leqslant 404.\]若 $S$ 中的任意一个元素都在至多 $m (m \leqslant 403)$ 个 $A_i$ 中出现，则\[\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|A_i\right|\leqslant m|S|\leqslant 403|S|.\]另一方面，因为对每个 $i$，都有 $\left|A_i\right|\geqslant \dfrac{1}{5}|S|$，故\[
\displaystyle\sum_{i=1}^{2016}\left|A_i\right|\geqslant \dfrac{2016}{5}|S|>403|S|,
\]矛盾．所以\[k_{\max}\geqslant 404.\]综合以上知，$k_{\max}=404$．
题目
答案
解析
备注
