考虑将 $1,2,\cdots,99$ 这 $99$ 个正整数分成如下 $50$ 组：$$(1,99),(2,98),\cdots,(47,53),(48,52),(49,51),(50).$$若选出的 $50$ 个不同的正整数中没有 $50$，则必有 $2$ 个数位于$$(1,99),(2,98),\cdots,(47,53),(48,52),(49,51)$$中的同一组，不合题意．所以这 $50$ 个不同的正整数中必有 $50$，而$$(1,99),(2,98),\cdots,(47,53),(48,52),(49,51)$$中，每组有且只有一个数被选中．
因为 $50+49=99$，所以 $(49,51)$ 中选 $51$；因为 $51+48=99$，所以 $(48,52)$ 中选 $52$；以此类推，可得 $50,51,52,\cdots,98,99$ 是唯一可能的选法．
经检验，选 $50,51,52,\cdots,98,99$ 满足题意，此时 $50+51+\cdots+98+99=3725$．