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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15216 5c75f9f8210b28428f14cd26 高中 解答题 自招竞赛 对于任意的正整数 $p$，令 $b\left( p \right)$ 为唯一满足 $\left| k-\sqrt{p}\frac{1}{2} \right|$ 的正整数 $k$ 。例如，$b\left( 6 \right)=2$，$b\left( 23 \right)=5$ 。若 $\displaystyle S=\sum\limits_{p=1}^{2007}{b\left( p \right)}$，求出 $S$ 被 $1000$ 除所得的余数。 2022-04-17 19:43:11
15215 5c75fffb210b28428f14cd45 高中 解答题 自招竞赛 一个整数的十进制表示法为 ${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}$ …… ${{a}_{k}}$，若当 ${{a}_{i}}$ 为奇数时 ${{a}_{i}}<{{a}_{i+1}}$，当 ${{a}_{i}}$ 为偶数时 ${{a}_{i}}>{{a}_{i+1}}$，则称这个整数具有单调性和奇偶性。在所有的四位数中，这样的整数有多少个？ 2022-04-17 19:42:11
15214 5c760019210b284290fc24ef 高中 解答题 自招竞赛 集合 $S$ 有 $6$ 个元素，$P$ 为集合 $S$ 的所有子集构成的集合，从 $P$ 中分别完全随机地选出 $S$ 的子集 $A$，$B$（两个子集不必不同），设集合 $B$ 包含于 $A$ 或 $S-A$ 中至少一个的概率为 $\frac{m}{{{n}'}}$，其中 $m$，$n$，$r$ 为正整数，$n$ 是素数，$m$，$n$ 互素，试求 $m+n+r$（$S$ 中不属于 $A$ 的所有元素组成的集合定义为 $S-A$）。 2022-04-17 19:41:11
15212 5c763c31210b28428f14ce16 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{1}}=1$ 且 ${{5}^{{{a}_{n-1}}-{{a}_{n}}}}-1=\frac{1}{n+\frac{2}{3}}$ 对所有的 $n\geqslant 1$ 成立．设 $k$ 是大于1且使得 ${{a}_{k}}$ 是整数的最小整数，求 $k$． 2022-04-17 19:40:11
15210 5c763c73210b284290fc256d 高中 解答题 自招竞赛 当 $t=1 ,2, 3, 4$ 时，定义 $\displaystyle {{S}_{t}}=\sum\limits_{i=1}^{350}{a_{i}^{t}}$，其中 ${{a}_{i}}\in \left\{ 1 ,2, 3, 4 \right\}$．如果 ${{S}_{1}}=513$ 具 ${{S}_{4}}=4745$，求 ${{S}_{2}}$ 的最小值． 2022-04-17 19:38:11
15208 5c77428a210b28428f14ce50 高中 解答题 自招竞赛 定义 $n!!$ 为 $n\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-4 \right)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 1$（$n$ 为奇数时）或 $n\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-4 \right)\cdot \ldots \cdot 4\cdot 2$（$n$ 为偶数时）当 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2009}{\frac{\left( 2i-1 \right)!!}{\left( 2i \right)!!}}$ 表示成最简分数时，它的分母是 ${{2}^{a}}\cdot b$，其中 $b$ 是奇数，求 $\frac{ab}{10}$． 2022-04-17 19:37:11
15187 5c9d8109210b280b2397eb64 高中 解答题 自招竞赛 $\displaystyle \prod\limits_{k = 1}^{45} {{{\csc }^2}(2k -1)^\circ } = {m^n}$ 。其中 $m$ 和 $n$ 是大于1的正整数。求 $m + n$ 。 2022-04-17 19:25:11
15146 5cb43cce210b280220ed1db5 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=e^{x}-\cos x,x>0$．正实数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时 $f(a_{n})=a_{n-1}$．求证： 2022-04-17 19:01:11
15143 5cb5978e210b28021fc75695 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1}=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}(n\in\mathbf N^{*})$． 2022-04-17 19:59:10
15131 5cc121f4210b28021fc75b86 高中 解答题 自招竞赛 若椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 上不同的三点 $A(x_1,y_1),B(4,\dfrac{9}{5}),C(x_2,y_2)$ 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段 $AC$ 的中垂线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $T$，求直线 $BT$ 的方程． 2022-04-17 19:52:10
15128 5cc2c073210b280220ed261e 高中 解答题 自招竞赛 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1,a_2$ 是给定的非零整数，$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_{n}|$． 2022-04-17 19:50:10
15126 5cc66911210b28021fc75c5a 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $m,n$，定义函数 $f(m,n)$ 如下：
① $f(1,1)=1$；
② $f(m+1,n)=f(m,n)+2(m+n)$；
③ $f(m,n+1)=f(m,n)+2(m+n-1)$．		 2022-04-17 19:48:10
15119 5cd5199c210b28021fc760a0 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=e^x-1-1x$． 2022-04-17 19:45:10
15118 5cdb75af210b280220ed2de6 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 满足 $x^2_{n+1}\leqslant x_nx_{n+2}(n=1,2,\cdots,2016)$ 和 $\prod_{n=1}^{2018} x_n=1$，证明：$x_{1009}x_{1010}\leqslant 1$． 2022-04-17 19:44:10
15117 5cdb76d5210b280220ed2deb 高中 解答题 自招竞赛 将 $2n(n\geqslant 2)$ 个不同整数分成两组 $a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n$．证明：$\sum_\limits{1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n}|a_i-b_i|-\sum_\limits{1\leqslant i<j\leqslant n}(|a_j-a_i|+|b_j-b_i|)\geqslant n$． 2022-04-17 19:43:10
15114 5cdbc559210b28021fc76298 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 的奇数项是首项为 $1$ 的等差数列，偶数项是首项为 $2$ 的等比数列．数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $S_5=2a_4+a_5,a_9=a_3+a_4$． 2022-04-17 19:42:10
15112 5cde669f210b280220ed3074 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\{a_n\}$ 是公差 $d(d\ne 0)$ 的等差数列，且 $a_1+t^2=a_2+t^3=a_3+t$． 2022-04-17 19:40:10
15111 5ce60bdb210b280220ed3361 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}:a_1=7,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=a_n+2,n=1,2,3,\cdots$．求满足 $a_n>4^{2018}$ 的最小正整数 $n$． 2022-04-17 19:40:10
15059 5e574321210b280d37822388 高中 解答题 高考真题 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,a_3=4,a_4=S_3$．数列 $\{b_n\}$ 满足：对每个 $n\in\mathbb{N}^{\ast},S_n+b_n,S_{n+1}+b_n,S_{n+2}+b_n$ 成等比数列．
（I）求数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_n=\sqrt{\dfrac{a_n}{2b_n}},n\in\mathbb{N}^{\ast}$，证明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<2\sqrt{n},n\in\mathbb{N}^{\ast}$．		 2022-04-17 19:15:10
15013 6007e24f887486000a487960 高中 解答题 自招竞赛 经过点 $M(2,-1)$ 作抛物线 $ y^2=x $ 的四条不同的弦 $ P_iQ_i $（$ i=1,2,3,4 $），且 $ P_1,P_2,P_3,P_4 $ 四点的纵坐标依次成等差数列．证明：$$\frac{P_1M}{MQ_1}-\frac{P_2M}{MQ_2}>\frac{P_3M}{MQ_3}-\frac{P_4M}{MQ_4}.$$ 2022-04-17 19:48:09
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