已知 $\{a_n\}$ 是公差 $d(d\ne 0)$ 的等差数列，且 $a_1+t^2=a_2+t^3=a_3+t$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（初赛试题）
【标注】
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求实数 $t,d$ 的值；标注答案$t=-\dfrac{1}{2},d=\dfrac{3}{8}$解析由题设知，$\begin{cases}
a_1+t^2=a_1+d+t^3\\
a_1+d+t^3=a_1+2d+t\\
\end{cases}$ 即 $\begin{cases}d=t^2-t^3\\
d=t^3-t\\
\end{cases}$
因为 $d\ne 0$，所以 $t\ne 0,t\ne 1$，所以由 $2t^2-t-1=0$ 得 $t=-\dfrac{1}{2},d=\dfrac{3}{8}$． -
若正整数满足 $m<p<r,a_m-2t^m=a_p-2t^p=a_r-2t^r=0$，求数组 $(m,p,r)$ 和相应的通项公式 $a_n$．标注答案$(m,p,r)=(1,3,4),a_n=-1+\dfrac{3}{8}(n-1)=\dfrac{3}{8}n-\dfrac{11}{8}$解析由 $a_m-2t^m=a_p-2t^p=a_r-2t^r=0,t=-\dfrac{1}{2},t=\dfrac{3}{8}$ 得 $(p-m)d=2[(-\dfrac{1}{2})^p-(-\dfrac{1}{2})^m]$，及 $(r-p)d=2[(-\dfrac{1}{2})^r-(-\dfrac{1}{2})^p]$，即 $\dfrac{3}{8}(p-m)=2[(-\dfrac{1}{2})^p-(-\dfrac{1}{2})^m]$，及 $\dfrac{3}{8}(r-p)=2[(-\dfrac{1}{2})^r-(-\dfrac{1}{2})^p]$，也即 $3(p-m)=2^4[(-\dfrac{1}{2})^p-(-\dfrac{1}{2})^m]$，及 $3(r-p)=2^4[(-\dfrac{1}{2})^r-(-\dfrac{1}{2})^p]$，两式左边都是正整数，故 $m<p<r\leqslant 4$，且 $m,p$ 都是奇数，所以 $m=1,p=3,r=4,a_1=-1$．验证如下：
$a_1-2(-\dfrac{1}{2})=-1-2(-\dfrac{1}{2})=0;a_3-2(-\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{9}{8}-\dfrac{11}{8}-2(-\dfrac{1}{2})^3=0;a_4-2(-\dfrac{1}{2})^4=\dfrac{12}{8}-\dfrac{11}{8}-2(-\dfrac{1}{2})^4=0$．所以 $(m,p,r)=(1,3,4),a_n=-1+\dfrac{3}{8}(n-1)=\dfrac{3}{8}n-\dfrac{11}{8}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
