已知数列 $\{a_n\}:a_1=7,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=a_n+2,n=1,2,3,\cdots$．求满足 $a_n>4^{2018}$ 的最小正整数 $n$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛（B卷一试试题）
【标注】
【答案】
$12$
【解析】
由 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=a_n+2$ 可知 $a_{n+1}+1=(a_n+1)^2$．因此 $a_n+1=(a_1+1)^{2^{n-1}}=8^{2^{n-1}}=2^{3\times 2^{n-1}}$，故 $a_n=2^{3\times 2^{n-1}}-1$．显然 $\{a_n\}$ 单调递增．由于 $a_{11}=2^{3072}-1<2^{4036}=4^{2018},a_{12}=2^{6144}-1>2^{4036}=4^{2018}$，故满足题目条件的 $n$ 的最小值是 $12$．
答案
解析
备注
