已知数列 $\{a_n\}$ 的奇数项是首项为 $1$ 的等差数列，偶数项是首项为 $2$ 的等比数列．数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $S_5=2a_4+a_5,a_9=a_3+a_4$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖南省预赛（A卷）
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式标注答案$a_n=\begin{cases}
n,n=2k-1\\
2\cdot 3^{\tfrac{n}{2}-1},n=2k\\
\end{cases}$（其中 $k\in\mathbf N^{\ast}$）解析设等差数列的公差为 $d$，等比数列的公比为 $q$，则 $a_1=1,a_2=2,a_3=1+d,a_4=2q,a_9=1+4d$．因为 $S_5=2a_4+a_5$，所以 $a_1+a_2+a_3=a_4$，即 $4d=2q$，又 $a_9=a_3+a_4$．所以 $1+4d=1+d+2q$．解得 $d=2.q=3$．所以对于 $k\in\mathbf N^{\ast}$，有 $a_{2k-1}=1+(k-1)\cdot 2=2k-1,a_{2k}=2\cdot 3^{k-1}$．
故 $a_n=\begin{cases}
n,n=2k-1\\
2\cdot 3^{\tfrac{n}{2}-1},n=2k\\
\end{cases}$（其中 $k\in\mathbf N^{\ast}$） -
若 $a_ma_{m+1}=a_{m+2}$，求正整数 $m$ 的值；标注答案$2$解析若 $a_m=2k$，则由 $a_ma_{m+1}=a_{m+2}$，得 $2\cdot 3^{k-1}(2k+1)=2\cdot 3^k$，解得 $k=1$，则 $m=2$．若 $a_m=2k-1$，则由 $(2k-1)\cdot 2\cdot 3^{k-1}=2k+1$，此时左边为偶数，右边为奇数，不成立．故满足条件的正数为 $2$．
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是否存在正整数 $m$，使得 $\dfrac{S_{2m}}{S_{2m-1}}$ 恰好为数列 $\{a_n\}$ 中的一项？若存在，求出所有满足条件的 $m$ 值，若不存在，说明理由．标注答案存在正整数 $m=1$，使得 $\dfrac{S_2}{S_1}$ 恰好为数列 $\{a_n\}$ 中的第三项．存在正整数 $m=2$，使得 $\dfrac{S_4}{S_3}$ 恰好为数列 $\{a_n\}$ 中的第二项解析$S_{2k}=\dfrac{(1+2k-1)k}{2}+\dfrac{2(1-3^k)}{1-3}=k^2-1+3^k$．$S_{2k-1}=S_{2k}-a_{2k}=k^2-1+3^k-2\cdot 3^{k-1}=k^2-1+3^{k-1}$．假设存在正整数 $m$，使得 $\dfrac{S_{2m}}{S_{2m-1}}$ 恰好为数列 $\{a_n\}$ 中的一项，又由（1）知，数列中的每一项都为正数，故可设 $\dfrac{S_{2m}}{S_{2m-1}}=L(L\in\mathbf N^{\ast})$，则 $\dfrac{m^2-1+3^m}{m^2-1+3^{m-1}}=L$，变形得到 $(3-L)3^{m-1}=(L-1)(m^2-1)$．①
因为 $m\geqslant 1,L\geqslant 1,3^{m-1}>0$，所以 $L\leqslant 3$．又 $L\in\mathbf N^{\ast}$，故 $L$ 可能取 $1,2,3$．当 $L=1$ 时，$(3-L)3^{m-1}>0,(L-1)(m^2-1)=0$，所以 ① 不成立．当 $L=2$ 时，$(3-2)3^{m-1}=(2-1)(m^2-1)=0$，即 $3^{m-1}=m^2-1$．若 $m=1,3^{m-1}\ne m^2-1$，令 $T_m=\dfrac{m^2-1}{3^{m-1}}(m\in\mathbf N^{\ast},m\geqslant 2)$，则 ${{T}_{m+1}}-{{T}_{m}}=\frac{{{\left(m+1\right)}^{2}}-1}{{{3}^{m}}}-\frac{{{m}^{2}}-1}{{{3}^{m-1}}}=\frac{-2{{m}^{2}}+2m+3}{{{3}^{m}}}=\frac{-2{{\left(m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{2}}{{{3}^{m}}}\leqslant\frac{-2{{m}^{2}}+2\times 2+3}{{{3}^{2}}}<0$．
因此，$1=T_2>T_3>\cdots$，故只有 $T_2=1$，此时 $m=2,L=2=a_2$，当 $L=3$ 时，$(3-3)3^{m-1}=(3-1)(m^2-1)$．所以 $m=1,L=3=a_3$．
综上，存在正整数 $m=1$，使得 $\dfrac{S_2}{S_1}$ 恰好为数列 $\{a_n\}$ 中的第三项．存在正整数 $m=2$，使得 $\dfrac{S_4}{S_3}$ 恰好为数列 $\{a_n\}$ 中的第二项．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
