题目 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1}=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n}+\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}(n\in\mathbf N^{*})$． 问题1 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 答案1 $a_{n}=\dfrac{n^{2}}{2^{n}}$ 解析1 由 ${{a}_{n+1}}\text{=}\dfrac{1}{2}{{a}_{n}}+\dfrac{2n+1}{{{2}^{n+1}}}\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)$ 知 ${{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}\text{=}{{2}^{n}}{{a}_{n}}+2n+1\left(n\in \mathbf{N}^{*}\right)$．令 ${{b}_{n}}\text{=}{{2}^{n}}{{a}_{n}}$，则 $b_{1}=1$ 且 ${{b}_{n+1}}\text{=}{{b}_{n}}+2n+1\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)$．由 ${{b}_{n}}=\left({{b}_{n}}-{{b}_{n-1}} \right)+\left( {{b}_{n-1}}-{{b}_{n-2}} \right)+\cdots\left( {{b}_{2}}-{{b}_{1}} \right)+{{b}_{1}}=\left( 2n-1 \right)+\cdots+3+1={{n}^{2}}$，得 $a_{n}=\dfrac{n^{2}}{2^{n}}$． 备注1 问题2 求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S$ 答案2 $S_{n}=6-\dfrac{n^{2}+4n+6}{2^{n}}$ 解析2 略 备注2 由题意知 ${{S}_{n}}=\dfrac{{{1}^{2}}}{{{2}^{1}}}+\dfrac{{{2}^{2}}}{{{2}^{2}}}+\dfrac{{{3}^{2}}}{{{2}^{3}}}+\dfrac{{{4}^{2}}}{{{2}^{4}}}+\cdots+\dfrac{{{\left( n-1 \right)}^{2}}}{{{2}^{n-1}}}+\dfrac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n}}}$，所以 $\dfrac{\text{1}}{\text{2}}{{S}_{n}}=\dfrac{{{1}^{2}}}{{{2}^{\text{2}}}}+\dfrac{{{2}^{2}}}{{{2}^{3}}}+\dfrac{{{3}^{2}}}{{{2}^{\text{4}}}}+\dfrac{{{4}^{2}}}{{{2}^{\text{5}}}}+\cdots+\dfrac{{{\left( n-1\right)}^{2}}}{{{2}^{n}}}+\dfrac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n\text{+1}}}}$．两式相减得 $\dfrac{\text{1}}{\text{2}}{{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\text{3}}{{{2}^{\text{2}}}}+\dfrac{\text{5}}{{{2}^{\text{3}}}}+\dfrac{\text{7}}{{{2}^{\text{4}}}}+\dfrac{\text{9}}{{{\text{2}}^{\text{5}}}}\text{+}\cdots+\dfrac{\left( \text{2}n-1\right)}{{{2}^{n}}}-\dfrac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n\text{+1}}}}$．设 ${{T}_{n}}\text{=}\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{{{2}^{2}}}+\dfrac{5}{{{2}^{3}}}+\dfrac{7}{{{2}^{4}}}+\dfrac{9}{{{2}^{5}}}+\cdots+\dfrac{\left( 2n-1 \right)}{{{2}^{n}}}$，再利用错位相减法求得 ${{T}_{n}}\text{=}3-\dfrac{2n+3}{{{2}^{n}}}$．所以 ${{S}_{n}}\text{=}6-\dfrac{2n+3}{{{2}^{n-1}}}-\dfrac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n}}}\text{=}6-\dfrac{{{n}^{2}}+4n+6}{{{2}^{n}}}$．